Analyse Dynamique d'Algorithmes Euclidiens et Théorèmes Limites - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2007

Dynamical Analysis of Euclidean Algorithms and Limits Theorems

Analyse Dynamique d'Algorithmes Euclidiens et Théorèmes Limites

Aïcha Hachemi
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 856256

Résumé

In this thesis, we study the asymptotic behaviour of distributions of the total cost associated to euclidian fast algorithms. In the first chapter, we recall some dynamical properties of euclidian systems and introduce the property of strong moments for an additive non-lattice cost function. We establish then the strong diophantine cost property and prove its genericity. In the second chapter, using Dolgopyat-Melbourne techniques, we analyse perturbations of a tranfer operator associated to transformations of the good class. These results are used in the third chapter where we get estimations for the moment generating function and obtain that it is quasi-exponentially decreasing.

The last chapter is devoted to proving local limit theorems. The first theorem is without speed of convegence and relates all costs having strong moments up to order three. The diophantine condition enables us to establish a local limit theorem with control of the speed of convergence. For smooth enough observables we attain the optimal speed.
Dans cette thèse, nous nous intéressons au comportement asymptotique des distributions de coûts associés à des algorithmes d'Euclide de la classe rapide. Nous commençons dans un premier chapitre par des rappels sur les propriétés dynamiques des systèmes euclidiens et introduisons la propriété de moments forts pour les coûts additifs non-réseau. Nous établissons ensuite la condition de coût fortement diophantien et montrons sa généricité. Dans le deuxième chapitre, nous analysons, en adaptant des techniques de Dolgopyat-Melbourne, des perturbations d'opérateurs de transfert associés à des applications de la bonne classe. Ces résultats sont utilisés dans le troisième chapitre pour obtenir des estimations sur la fonction génératrice des moments où nous montrons sa quasi-décroissance exponentielle.

Le dernier chapitre est consacré aux démonstrations de téorèmes de la limite locale. Le premier théorème est sans vitesse de convergence et concerne tous les coùts non-réseau ayant des moments forts à l'ordre trois. La condition diphantienne nous permet ensuite d'établir un théorème de la limite locale avec contrôle de la vitesse de convergence. Pour des observables suffisament régulières, nous obtenons une vitesse de convergence optimale.
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Dates et versions

tel-00343537 , version 1 (01-12-2008)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00343537 , version 1

Citer

Aïcha Hachemi. Analyse Dynamique d'Algorithmes Euclidiens et Théorèmes Limites. Mathématiques [math]. Université Paris-Diderot - Paris VII, 2007. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00343537⟩
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