Optimal transport and geometric analysis in Heisenberg groups - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2008

Optimal transport and geometric analysis in Heisenberg groups

Transport optimal et analyse géométrique dans le groupe de Heisenberg

Résumé

In this thesis we consider the Heisenberg group $\He_n=\R^{2n+1}$ with its Carnot-Carathéodory distance $d_c$ and the Lebesgue measure $\Lg^{2n+1}$. In Chapter 1, in relation with the geometric traveling salesman problem in $\Hei$, we construct a curve of finite length that does not satisfy the criterion of Ferrari, Franchi and Pajot about sets contained in the range of a rectifiable curve. We also prove a sharp Jacobian estimate of that maps that contract sets to a point going along geodesics. This is essentially equivalent to the Measure Contraction Property $MCP(0,2n+3)$. With this estimate we answer positively a question by Ambrosio and Rigot about optimal transport in $\He_n$ (common work with Figalli). Indeed, in Chapter 2 we prove the absolute continuity of the measure of $\He_n$ on a Wasserstein geodesics starting from an absolutely continuous measure. In Chapter 3, we prove that the Curvature-Dimension $CD(K,N)$ condition defined by optimal transport does not hold for any $K\in\R$ and $N\in[1,+\infty]$. We also discuss other metric curvature properties in the case of $\He_n$. Finally Chapter 4 is devoted to the concordance of the subelliptic "heat'' equation and the Wasserstein gradient flow of the Bolzmann entropy.
On considère le groupe de Heisenberg $\He_n=\R^{2n+1}$ avec la distance de Carnot-Carathéodory $d_c$ et la mesure de Lebegue $\Lg^{2n+1}$. Dans le premier chapitre, dans le cadre du problème du voyageur de commerce géométrique de $\Hei$, on construit une courbe de longueur finie qui ne vérifie pas le critère de Ferrari, Franchi et Pajot au sujet des ensembles contenus dans une courbe rectifiable. On montre aussi une inégalité sur le déterminant jacobien des applications de contraction sur un point qui suivent les géodésiques. Cette inégalité est essentiellement équivalente à la Propriété de Contraction de Mesure $MCP(0,2n+3)$. Grâce à cette proprété on répond positivement au Chapitre 2 à une question d'Ambrosio et Rigot à propos du transport de mesure dans $\He_n$ (travail en commun avec Figalli). Il s'avère en effet que les mesures traversées par une géodésique de l'espace de Wasserstein sont absolument continues dès qu'une extrémité de la géodésique l'est. Au Chapitre 3 on démontre que la Courbure-Dimension $CD(K,N)$ définie par transport de mesure n'est pas vérifiée pour $\He_n$ et que cela vaut quels que soient les paramètres $K\in\R$ et $N\in[1,+\infty]$. On discute aussi d'autres propriétés de courbures dans le cas du groupe de Heisenberg. Le Chapitre 4 est dédié à la correspondance entre l'équation de la chaleur sous-elliptique et le flot de gradient de l'entropie de Bolzmann dans l'espace de Wassertein.
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Dates et versions

tel-00345301 , version 1 (08-12-2008)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00345301 , version 1

Citer

Nicolas Juillet. Optimal transport and geometric analysis in Heisenberg groups. Mathematics [math]. Université Joseph-Fourier - Grenoble I; Rheinische Friedrisch-Wilhelms-Universität Bonn, 2008. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00345301⟩
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