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Theses Year : 2008

Variations autour de formes irrégulières et optimales

Jimmy Lamboley

Abstract

This dissertation takes place in the mathematic field called shape optimization. More precisely, we focus on difficulties linked to the writing of optimality conditions, and how to use them. The two main obstacles that have been analysed are the following:
- to deal with shape whose regularity is a priori unknown,
- to deal with strong geometrical constraints, i.e. which allow very few variations in the writing of optimality (for example the convexity).

The results are described in the four chapters of the thesis:
- the first one aims at developing a framework of shape derivatives, well adapted for shapes with very poor regularity,
- the chapter 2 deals with the analysis of optimality conditions under convexity constraints, in dimension 2, and their applications to a class of problems whose solutions are necessarily polygons,
- the third one focuses on two classical problems of shape optimization for eigenvalues, which enlighten the difficulties previously mentioned. We prove some regularity results, and also non-regularity ones, of optimal shapes for these problems; we get some maximal regularity in $\C^{1,1/2}$, which are new and sharp,
- the last chapter is motivated by the question of partially overdetermined problems, and we build some counter-examples linked with shape optimization.
Cette thèse s'inscrit dans le domaine des mathématiques appelé Optimisation de forme. Plus spécifiquement, on s'est attaché aux difficultés liées à l'écriture des conditions d'optimalité, et à leurs utilisations. Les deux obstacles majeurs qui ont été analysés sont les suivants :
- gérer des formes dont on ne connaît pas a priori la régularité,
- gérer des contraintes géométriques fortes, c'est-à-dire qui ne permettent que très peu de variations pour écrire l'optimalité (par exemple la convexité).

Les résultats obtenus sont décrits dans les quatre chapitres de cette thèse :
- le premier vise à établir un cadre de différentiation de forme valable pour des formes presque sans régularité a priori,
- le chapitre 2 s'attache à l'analyse des conditions d'optimalité sous contrainte de convexité, en dimension 2, et leurs applications à une classe de problèmes où les formes optimales sont nécessairement des polygones,
- le troisième chapitre se focalise sur deux problèmes classiques de l'optimisation de forme des valeurs propres du laplacien, qui montrent bien les deux types de difficultés évoquées ci-dessus. On y démontre des résultats de régularité, et aussi de non-régularité, des formes optimales pour ces problèmes ; on obtient des limites de régularité en $\C^{1,1/2}$ qui sont nouvelles et optimales,
- le dernier chapitre est motivé par la question des problèmes elliptiques partiellement surdéterminés, et on construit des contre-exemples liés à l'optimisation de forme.

Domains

Mathematics [math]

Dates and versions

tel-00346316 , version 1 (11-12-2008)

Identifiers

• HAL Id : tel-00346316 , version 1

Cite

Jimmy Lamboley. Variations autour de formes irrégulières et optimales. Mathématiques [math]. École normale supérieure de Cachan - ENS Cachan, 2008. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00346316⟩

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