\chapter{Le temps de réponse} \label{chap:tps_rep}

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%	Chap - Temps de réponse
%		1 - Introduction
%		2 - Définition lexicale et mathématique
%			a) Définition lexicale
%			b) Définition mathématique
%		3 - Définition des mesures
%			a) La norme VESA (FPDM)
%			b) La norme ISO 13406-2
%			c) Le Gray-to-Gray (G2G)
%			d) Les autres métriques		
%		4 - Conclusion
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\section{Introduction}
Jusqu'à la récente déferlante des écrans LCD, l'expression "temps de réponse" était uniquement l'apanage du domaine scientifique et, plus particulièrement, de l'automatique. La mise en place de normes afin de réglementer le marché démocratisa le temps de réponse auprès du grand public, tout en lui conférant aujourd'hui, vraisemblablement une notion exclusivement commerciale dans le monde du LCD. Ce chapitre a donc pour objectif de dévoiler les différentes définitions se cachant derrière le terme "temps de réponse".\\

Dans un premier temps, nous établirons un vocabulaire lexical lié à la définition du temps de réponse et nous proposerons, par la suite, un formalisme mathématique afin de simplifier drastiquement les expressions utilisées. Nous nous pencherons ensuite sur les différentes définitions du temps de réponse, dans un premier temps d'un point de vue scientifique, puis d'un point de vue commercial. Nous proposerons, enfin, une amélioration d'une métrique du marché afin de corréler au mieux temps de réponse et qualité visuelle. 

\section{Définition lexicale et mathématique}
Avant de présenter le calcul du temps de réponse, cette partie a pour objectif de proposer une définition des différentes expressions utilisées tout au long de ce manuscrit, en relation avec la notion de temps de réponse. Une fois ce vocabulaire lexical correctement défini, nous le mettrons en correspondance avec des notations mathématiques afin de simplifier l'écriture et la compréhension des termes utilisés.

\subsection{Définition lexicale} \label{subsec:def_lexicale}
Le temps de réponse d'un écran à cristaux liquides est un terme employé uniquement lors des changements de luminance à l'écran. Afin d'expliciter cette notion, considérons un écran LCD avec une fréquence de rafraîchissement égale à $f$. Considèrons ensuite un pixel quelconque de cet écran ayant à un instant $t$ une valeur de niveau de gris $G_1$, correspondant à une luminance $L_1$. Nous désirons afficher sur ce même pixel au changement d'image suivante (c'est-à-dire après un temps égal à $\dfrac{1}{f}$) le niveau de gris $G_2$ (avec $G_2 \neq G_1$), correspondant à une luminance $L_2$. \\

Pour cela, nous appliquons sur le-dit pixel une nouvelle commande en tension. Cela a pour conséquence de varier la position du cristal liquide, de modifier la polarité de la lumière, de changer ainsi la valeur de luminance affichée et, dans le cas où le cristal liquide est assez réactif, d'obtenir à l'instant $t + \dfrac{1}{f}$, le niveau de gris désiré $G_2$. Par la suite, afin de simplifier les définitions lexicales suivantes, on supposera que nous travaillerons uniquement avec des niveaux de gris.\\

Maintenant que le contexte est mis en place, nous appellons "transition" le changement temporel appliqué du niveau de gris $G_1$ vers le niveau de gris $G_2$. On pourra, si la compréhension du contexte l'impose, préciser si la transition appliquée concerne des niveaux de gris (de $G_1$ vers $G_2$) ou des luminances (de $L_1$ vers $L_2$). Les valeurs $G_1$ et $G_2$ sont désignées respectivement comme "valeur initiale de la transition" et "valeur finale de la transition". \\

Nous supposons ici que la présence d'une transition implique obligatoirement un changement réel de niveau de gris. Par conséquent, une valeur initiale ne pourra être en aucun cas égale à une valeur finale : nous ne parlerons donc de transition que lorsque $G_1 \neq G_2$.\\

Enfin, grâce à cette dernière propriété, on définit la notion de "transition montante" comme une transition dont la valeur initiale est inférieure à la valeur finale ($G_1 < G_2$) et une "transition descendante" dans le cas contraire ($G_1 > G_2$). 

\subsection{Définition mathématique}
Au lieu d'utiliser tout au long de ce manuscrit des expressions qui peuvent rapidement devenir assez longues et "indigestes", cette partie a pour objectif de poser un vocabulaire mathématique simplifié pouvant intuitivement retranscrire les expressions de type "la transition montante de la valeur A vers la valeur B" en une seule expression mathématique \Citep{Adam2006} \\

Soit $\mathbb{L}_{n}$ un sous-ensemble de $\mathbb{N}$ défini tel que $\mathbb{L}_{n} = \{l_k | 0 \leqslant k < n, l_k = k\}$. Les éléments entiers ${l_k}$ représentent ici les $n$ niveaux de gris qu'il est possible d'afficher sur un écran où chaque composante couleur est codée sur $\dfrac{log(n)}{log(2)}$ bits. Par exemple, sur un écran codé sur $8$ bits par composante, on aura $\mathbb{L}_{256} = \llbracket 0..255 \rrbracket$. Enfin, on définit $\mathbb{L}_{n}^{*}$ comme l'ensemble $\mathbb{L}_{n}$ privé de la valeur nulle.\\

Puisque les entiers ${l_k}$ représentent des niveaux de gris qu'il est possible d'afficher à l'écran et d'après la définition d'une transition, ces éléments peuvent aussi représenter des niveaux de gris initiaux et finaux de n'importe quelle transition. Par conséquent, nous allons créer un nouvel ensemble représentant les transitions d'un niveau initial de $\mathbb{L}_n$ vers un niveau final de $\mathbb{L}_n$. Ce nouvel ensemble, noté $\mathbb{T}$ est donc formé à partir d'un couple d'éléments de $\mathbb{L}_n$ et, est défini par l'équation~\eqref{eq:def_T}.
\begin{equation}
\mathbb{T}  =  \{ (x,y)| x \in \mathbb{L}_n, y \in {\mathbb{L}_n}, x \ne y \}
\label{eq:def_T}
\end{equation}

Les valeurs $x$ et $y$ correspondent respectivement à la valeur initiale et à la valeur finale de la transition. De ce fait, l'ordre des éléments du couple est primordial. Ainsi, le couple $(x,y)$  aura une signification bien différente du couple $(y,x)$. \\

De plus, il faut noter que l'ensemble des couples de valeurs identiques (comme $(x,x)$) est exclu. En effet, nous avons supposé, dans la section précédente, qu'une transition nécessite obligatoirement un changement de valeurs entre sa valeur initiale et sa valeur finale. De ce fait, on obtient la propriété suivante :
$$
Card(\mathbb{T})  =   n^{2} - n
$$

On définit à présent deux sous-ensembles de $\mathbb{T}$, notés ${}^{\downarrow}\mathbb{T}$ et ${}^{\uparrow}\mathbb{T}$, respectivement ensemble des transitions descendantes et ensemble des transitions montantes. Ces deux sous-ensembles sont définis par :
\begin{eqnarray*}
{}^{\downarrow}\mathbb{T} & = & \{ (x,y) | (x,y) \in \mathbb{T}, x > y\}\\
{}^{\uparrow}\mathbb{T} & = & \{ (x,y) | (x,y) \in \mathbb{T}, x < y\}
\end{eqnarray*}
%
\indent Du fait de leur définition respective, ces deux ensembles sont disjoints et recouvrent entièrement l'ensemble $\mathbb{T}$ :
\begin{eqnarray*}
{}^{\downarrow}\mathbb{T} \cup {}^{\uparrow}\mathbb{T} & = & \mathbb{T} \\
{}^{\downarrow}\mathbb{T} \cap {}^{\uparrow}\mathbb{T} & = & \emptyset
\end{eqnarray*}
%
\indent De plus, toujours d'après leur définition, on remarque que ces deux sous-ensembles sont de tailles identiques :
\begin{eqnarray*}
Card({}^{\downarrow}\mathbb{T}) & = & \frac{n^{2} - n}{2} \\
Card({}^{\uparrow}\mathbb{T}) & = & \frac{n^{2} - n}{2}.
\end{eqnarray*}
%
\indent De par les propriétés de ces deux sous-ensembles, si le couple $(x,y) \in {}^{\uparrow}\mathbb{T}$ alors on aura $(y,x) \in {}^{\downarrow}\mathbb{T}$. \\

On définit à présent, à partir de ${}^{\uparrow}\mathbb{T}$, le sous-ensemble des transitions montantes dont la valeur initiale est fixée à $X$, noté ${}^{\uparrow}\mathbb{T}_{X}$ et le sous-ensemble des transitions montantes dont la valeur finale est fixée à $Y$, noté ${}^{\uparrow}\mathbb{T}^{Y}$. On obtient ainsi leur définition algébrique par :
\begin{eqnarray*}
{}^{\uparrow}\mathbb{T}_{X} & = & \{ (x,y) | (x,y) \in {}^{\uparrow}\mathbb{T}, x = X\}\\
{}^{\uparrow}\mathbb{T}^{Y} & = & \{ (x,y) | (x,y) \in {}^{\uparrow}\mathbb{T}, y = Y\}
\end{eqnarray*}
%
\indent La taille des sous-ensembles est définie par la relation :
\begin{eqnarray*}
Card({}^{\uparrow}\mathbb{T}_{X}) & = & (n - 1) - X\\
Card({}^{\uparrow}\mathbb{T}^{Y}) & = & Y
\end{eqnarray*}
%
\indent Par l'aspect symétrique des deux sous-ensembles ${}^{\uparrow}\mathbb{T}$ et ${}^{\downarrow}\mathbb{T}$, on procède de la même manière avec l'ensemble des transitions descendantes pour obtenir les deux sous-ensembles ${}^{\downarrow}\mathbb{T}_{X}$ et ${}^{\downarrow}\mathbb{T}^{Y}$. Par souci de simplicité, au lieu d'utiliser la notation ${}^{\uparrow}\mathbb{T} - {}^{\downarrow}\mathbb{T}_{0}$, nous noterons l'ensemble des transitions montantes dont la valeur initiale est non nulle par ${}^{\uparrow}\mathbb{T}_{*}$.\\

Enfin, on définit la transition unique de la valeur initiale fixe $x$ à la valeur finale fixe $y$ par la notation $T_{x}^{y}$.

\subsection{Résumé}
Pour conclure sur le formalisme lexical et mathématique du temps de réponse, le tableau \ref{tab:rappelformalisme} propose de rappeler les différentes notations mathématiques reliées à leur définition lexicale. \\
\begin{table}[ht]
\begin{center}
\begin{tabular*}{0.95\textwidth}{@{\hspace{2em}} @{\extracolsep{\fill}} c @{\hspace{2em}} l @{\hspace{2em}}}
\hlinewd{1pt}
{\large\strut Notation mathématique }& {\large\strut Signification lexicale }\\
\hlinewd{1pt}
${}^{\phantom{\downarrow}}\mathbb{T}_{\phantom{X}}$ & Ensemble de toutes les transitions \\
 & \\
${}^{\downarrow}\mathbb{T}_{\phantom{X}}$ & Ensemble des transitions descendantes\\
 & \\
${}^{\uparrow}\mathbb{T}_{\phantom{X}}$ & Ensemble des transitions montantes\\
 & \\
${}^{\uparrow}\mathbb{T}_{X}$ & Ensemble des transitions montantes\\
 & dont la valeur initiale est fixée à $X$\\
 & \\
${}^{\downarrow}\mathbb{T}^{Y}$ & Ensemble des transitions descendantes\\
& dont la valeur finale est fixée à $Y$\\
 & \\
$T_{x}^{y}$ & Transition de la valeur initiale $x$ \\
 & vers la valeur finale $y$\\
\hlinewd{1pt}
\end{tabular*}
\end{center}
\caption{Correspondance entre notations mathématiques et lexicales sur le temps de réponse}
\label{tab:rappelformalisme}
\end{table}

Puis, afin de se représenter visuellement les ensembles préalablement définis, la figure \ref{fig:representation_matricielle} propose un exemple d'ensemble sous la forme matricielle avec 8 niveaux de gris.

\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{./Part2/image/part2_chap1/representation_matricielle.png}
\caption{Représentation matricielle des ensembles}
\label{fig:representation_matricielle}
\end{figure}

\section{Les mesures de temps de réponse}
Maintenant que les notations mathématiques et les termes lexicaux ont été posés, nous allons nous pencher dans cette section sur les différentes définitions et mesures de temps de réponse existantes. En effet, derrière ce terme très usité dans le monde du LCD se cachent pas moins de trois définitions différentes : la norme FPDM du groupe VESA pour une définition uniquement scientifique et les métriques ISO-13406-2 et {\it Gray-to-Gray} pour l'aspect purement commercial. Nous tenterons d'apporter notre pierre à l'édifice en proposant une amélioration du {\it Gray-to-Gray} en ajoutant une composante perceptive à la métrique, aspect trop souvent délaissé dans les métriques de temps de réponse et, enfin, nous nous pencherons sur le {\it Motion Picture Response Time}, mesure de qualité qui combine le temps de réponse avec l'effet échelon des écrans LCD.

\subsection{La norme FPDM de VESA}
Avant l'instauration d'une métrique de temps de réponse en vue de guider le consommateur final dans son choix d'un écran LCD, une toute première norme a vu le jour grâce à l'impulsion de l'association {\it Video Electronics Standards Association} (ou VESA), créée en 1989 et regroupant plus de 150 entreprises. Définie par un groupe de travail au sein de VESA nommé {\it Flat Panel Display Measurements} (ou FPDM) et détaillée dans un document du même nom, dont la dernière version date de mai 2005 \Citep{Vesa2005}, la norme FPDM de VESA se trouve être la base de toutes les métriques existantes.\\

Voici la définition mathématique de la métrique. Soit $\mathcal{C}(t)$ la courbe analytique représentant la transition $T_{x}^{y}$. Soient $t_{10}$ et $t_{90}$ deux instants définis respectivement tels qu'à $t_{10}$, $\mathcal{C}(t)$ ait atteint $10\%$ de la dynamique et qu'à $t_{90}$, $\mathcal{C}(t)$ ait atteint $90\%$ de la dynamique (équation~\eqref{eq:vesa1}).
\begin{eqnarray}
\mathcal{C}(t_{10}) &=& x + 0.1 \cdot(y - x) \nonumber \\
\mathcal{C}(t_{90}) &=& x + 0.9 \cdot(y - x) \label{eq:vesa1}
\end{eqnarray}

Le temps de réponse de la transition $T_{x}^{y}$, noté $\tau(x,y)$ est finalement calculé dans l'équation~\eqref{eq:vesa2}.
\begin{eqnarray}
\tau(x,y) & = & t_{90} - t_{10} \nonumber \\
\tau(x,y) & = & \mathcal{C}^{-1}(x + 0.9 \cdot(y - x)) - \mathcal{C}^{-1}(x + 0.1 \cdot(y - x)) \label{eq:vesa2}
\end{eqnarray}

La figure \ref{fig:normeVESA} montre deux exemples de calcul de temps de réponse sur la transition montante $T_{32}^{160}$ et la transition descendante $T_{160}^{32}$.\\

\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=0.85\textwidth]{./Part2/image/part2_chap1/normeVESA.png}
\caption{Calcul de la norme VESA sur les transitions $T_{32}^{160}$ et $T_{160}^{32}$}
\label{fig:normeVESA}
\end{figure}

De par sa définition, il existe donc autant de temps de réponse VESA qu'il existe de transitions de luminosité. Par exemple, sur un écran dont chaque composante est codée sur 8 bits par pixel, il y a $2^8 \times 2^8 - 2^8$, soit $65280$ temps de réponse. Il est courant de représenter sous la forme d'un graphique en trois dimensions (dont les axes représentent la valeur initiale, la valeur finale et le temps de réponse) ce que nous appellerons la cartographie des temps de réponse pour un écran donné. Afin de rendre le graphique le plus "lisible" possible, seules quelques transitions sont prises en compte parmi les milliers existantes. \\

La figure \ref{fig:temps_reponse} montre un exemple de cartographie des temps de réponse d'un écran LCD avec des transitions de type $T_{k \times 2^6 - 1}^{p \times 2^6 - 1}$ avec $(k,p) \in \llbracket 0 .. 4 \rrbracket^2$.\\

\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{./Part2/image/part2_chap1/temps_reponse.png}
\caption{Exemple de cartographie de temps de réponse}
\label{fig:temps_reponse}
\end{figure}

Comme évoqué dans la section \ref{subsec:flou} du chapitre~\ref{chap:contexte} page~\pageref{subsec:flou}, lorsque l'on évoque la notion de temps de réponse comme une mesure de qualité d'image, il existe une forte corrélation entre cette valeur et la fréquence de rafraîchissement de l'écran, notée $f$. En effet, nous avions premièrement déclaré que l'apparition de phénomènes de traînées et de flou à l'écran résultait du fait que le temps de réponse $\tau$ était supérieur à l'inverse de la fréquence de rafraîchissement (soit la relation $\tau > \dfrac{1}{f}$) et que l'absence de flou dû au temps de réponse impliquait, par conséquent, que $\tau < \dfrac{1}{f}$

Maintenant que le temps de réponse VESA est correctement défini, il faut nuancer cette dernière affirmation \Citep{Lee2001a}. En effet, cette relation serait affirmée si $\tau_{VESA}$ était égal au temps pour que la luminosité passe de $0\%$ à $100\%$ de la dynamique, ce qui n'est pas le cas. Afin de prendre en compte cette différence, l'absence de phénomènes de traînées et de flou à l'écran nécessite donc que $\tau < k . \dfrac{1}{f}$ avec $k < 1$ et $k$ dépendant entièrement de la forme globale de la transition. \\

La courbe \ref{fig:tpsrepVESA_freq} montre, par exemple, la transition $T_{64}^{192}$ avec $\tau(64,192) = 16.6$ ms, ainsi que la valeur atteinte avant le changement d'image, ici égale à $16.6$ ms pour un écran à 60 Hz et, enfin, le temps pour atteindre réellement les $100 \%$ de la dynamique. 

\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=0.90\textwidth]{./Part2/image/part2_chap1/tpsrepVESA_freq.png}
\caption{Relation entre temps de réponse et fréquence de rafraîchissement}
\label{fig:tpsrepVESA_freq}
\end{figure}

\subsection{La norme ISO 13406-2} \label{subsec:ISO}
Au vu de la grande quantité de données fournies, la norme VESA ne pouvait être utilisée directement pour les caractéristiques commerciales d'un écran à cristaux liquides. Il fallait, à partir de tous ces temps de réponse, faire ressortir une seule et unique valeur ayant un lien direct avec la qualité visuelle d'un LCD; c'est ce que proposa la deuxième partie de la norme ISO-13406 \Citep{ISO2001}. \\ 

Rédigée en 1999 puis mise à jour en 2001 par l'Organistion Internationale de Normalisation (ou {\it International Standardization Organization}, ou encore ISO), cette norme fut mise en place afin de codifier certaines règles concernant les caractéristiques des écrans plats. Ce document présente donc la mesure du temps de réponse mais aussi la mesure du contraste, de la luminosité, de l'uniformité des couleurs ou encore du problème des pixels morts.\\

Concernant le temps de réponse, l'idée de la norme ISO était d'évaluer la réactivité des cristaux liquides, et par conséquent la qualité d'image, par une unique mesure. Pour cela, toute la chaîne (comprenant l'électronique et le cristal liquide) entre les drivers et l'affichage fut modélisée par un unique condensateur.

En mettant en correspondance le plus important niveau de gris (représentant le blanc) avec la charge maximale du condensateur, sur un écran dont chaque composante est codée sur 8 bits par pixel, on peut attribuer une capacité fictive du condensateur allant de $0$ (aucune charge) à $2^8 -1= 255$ (charge pleine). De ce fait, la transition $T_{x}^{y}$ est alors assimilée à la charge (ou la décharge, selon la technologie de l'écran) du condensateur de capacité totale $255$, à partir de sa valeur $x$ et vers sa valeur $y$.\\

Finalement, évaluer la réactivité des cellules LCD revient à estimer la rapidité de charge du condensateur. Puisque la charge totale de la capacité correspond au temps le plus long et afin de prendre en compte les différentes technologies d'écrans (écran noir ou blanc au repos), la norme ISO a choisi de prendre en compte uniquement les deux temps de réponse VESA $\tau(0,255)$ et $\tau(255,0)$, mesurés de manière indépendante, et de les sommer pour obtenir le temps de réponse de la norme ISO-13406-2, représenté par l'équation~\eqref{eq:normeISO}.

\begin{equation}
{\tau}_{ISO} = \tau(0,255) + \tau(255,0)
\label{eq:normeISO}
\end{equation}

Cette valeur, mesurée en millisecondes, correspond au temps indiqué sur la plupart des nomenclatures des écrans LCD et, d'un point de vue commercial, correspond  à la qualité visuelle de l'écran. Malheureusement, les cellules LCD ne se comportent pas comme de simples condensateurs. En effet, comme on peut le remarquer sur la figure \ref{fig:temps_reponse}, il apparaît que le temps de réponse, pour passer d'une niveau de gris intermédiaire à un autre niveau de gris intermédiaire, est beaucoup plus important que le temps de réponse de la transition du noir au blanc; des phénomènes de traînées et de flou pourront donc être visibles sur un écran LCD malgré l'excellent temps de réponse ISO de ce dernier. \\

Le fait de ne sélectionner que deux temps de réponse VESA et de les sommer pour obtenir cette métrique enlève, uniquement du point de vue de la qualité visuelle, toute relation entre sa valeur et la fréquence de rafraîchissement. Pour un écran à 60 Hz, il n'y a donc aucune relation entre les $16.6$ ms représentant l'inverse de la fréquence de rafraîchissement et un temps de réponse ISO de $16$ ms.\\

Cette constatation met donc en défaut la relation entre la qualité d'image et le temps de réponse ISO. Cependant, malgré la faiblesse de la métrique, on ne peut que saluer l'existence de la norme ISO-13406-2 qui a tout de même permis de "légiférer" dans le domaine des écrans à cristaux liquides.

\subsection{Le Gray-to-Gray} \label{subsec:gray2gray}
Comme nous l'avons vu précédemment, la valeur du temps de réponse de la norme ISO-13406-2 n'est pas correctement corrélée avec la qualité visuelle d'un écran LCD, notamment à cause du faible nombre de temps de réponse VESA pris en compte. Ce n'est malheureusement pas la seule lacune de cette mesure. En effet, comme nous le verrons dans le chapitre \ref{chap:overdrive} page~\pageref{chap:overdrive} et de par le choix des deux transitions mis en jeu dans la norme ISO, les avancées technologiques dans le domaine du LCD tendent à véritablement améliorer la qualité d'image, sans pour autant changer la valeur du temps de réponse ISO. 

Face à cette aberration scientifique, mais surtout commerciale, les industriels du secteur, indépendamment les uns des autres, ont décidé de contourner l'utilisation de la norme ISO-13406-2 en créant leur propre métrique. Cette mesure, bien que de définition différente pour chaque entreprise, est actuellement connue sous le même acronyme : le {\it Gray-to-Gray} (ou G2G).\\

Contrairement à la norme ISO-13406-2, le principe de la métrique est de moyenner plusieurs temps de réponse VESA de transitions de $\mathbb{T}^{\prime}$, avec $\mathbb{T}^{\prime} \subset \mathbb{T}$, au lieu de sommer uniquement $T_{0}^{255}$ avec $T_{255}^{0}$. Au premier abord, l'utilisation d'un ensemble plus conséquent de transitions ne peut qu'améliorer la corrélation entre la valeur de temps de réponse et la qualité d'image de l'écran même si aucun aspect perceptif n'est pris en compte. On obtient l'équation~\eqref{eq:g2g}.

\begin{equation}
\tau_{G2G} = \dfrac{1}{Card(\mathbb{T}^{\prime})} \sum_{T_x^y \in \mathbb{T}^{\prime}} \tau(x,y)
\label{eq:g2g}
\end{equation}

Au final, on serait tenté de louer cette initiative s'il ne persistait pas plusieurs zones d'ombres que sont le nombre et surtout le choix des transitions mises en jeu. N'étant pas une métrique normalisée, il n'existe que très peu de documentation sur cette mesure dont la définition change selon les entreprises. Grâce à ce "flou" sur la définition de la métrique, le G2G reste toujours inférieur à la valeur ISO; en 2004, on a même pu constater la présence, sur le marché, d'écrans 16 ms ISO, commercialisés quelques semaines plus tard à 8 ms en G2G et possédant pourtant la même dalle et les mêmes composants électroniques.

\subsection{Extension du Gray-to-Gray}
Comme nous l'avons vu précédemment, la métrique {\it Gray-to-Gray} représente une bonne initiative pour relier la valeur de temps de réponse à une métrique objective de la qualité d'image d'un écran LCD. Cependant, l'exploitation commerciale du concept n'a pas favorisé sa vocation première et l'aspect perceptif a malheureusement été mis de côté. \\

Le fait de prendre en compte et de moyenner un ensemble de transitions permet de définir une qualité globale de l'écran. Toutefois, d'un point de vue perceptif, une transition $T_{x}^{y}$ avec un temps de réponse de $\tau(x,y)$ ne sera pas perçu de la même façon qu'une autre transition $T_{x'}^{y'}$ avec le même temps de réponse; en plus du temps de réponse, la valeur initiale et finale des transitions jouent, en effet, un rôle essentiel lors de la visualisation de la transition.\\

Nous proposons, par conséquent, d'introduire une notion de perception, et plus particulièrement de sensation perceptive, dans la métrique {\it Gray-to-Gray}, par l'utilisation de la loi de Weber-Fechner \Citep{Fechner1860} qui stipule, dans notre cas, que la sensation perçue, notée $\mathcal{S}$, est proportionnelle au logarithme de l'intensité lumineuse, notée $\mathcal{I}$ et mesurée en $cd/m^2$, comme le décrit l'équation~\eqref{eq:loi_weber}.

\begin{equation}
\mathcal{S} = k \times \log(\mathcal{I})
\label{eq:loi_weber}
\end{equation}
avec $k$ une constante. Cette loi permet de donner une comparaison en terme perceptif entre deux luminances. Par exemple, une luminance de $100~cd/m^2$ sera perçue comme deux fois plus lumineuse qu'une luminance de $10~cd/m^2$.\\

Considérerons la transition $T_x^y$ comme le passage de la luminance initiale $\mathcal{I}_x$ à la luminance finale $\mathcal{I}_y$. Le système visuel humain traduit cette transition par une différence de sensation entre la valeur initiale et la valeur finale. Grâce à l'équation~\eqref{eq:loi_weber}, la différence de perception entre $\mathcal{I}_x$ et $\mathcal{I}_y$ peut se traduire par l'équation~\eqref{eq:diff_sensation}.
\begin{eqnarray}
\left\vert\Delta\mathcal{S}_{x,y}\right\vert	& = & \left\vert k \times \log\left(\mathcal{I}_x\right) - k \times \log\left(\mathcal{I}_y\right) \right\vert \nonumber \\
\left\vert\Delta\mathcal{S}_{x,y}\right\vert	& = & \left\vert k \times \log\left(\dfrac{\mathcal{I}_x}{\mathcal{I}_y}\right)\right\vert \nonumber \\
\left\vert\Delta\mathcal{S}_{x,y}\right\vert	& = & \left\vert k \times \log\left(\dfrac{\mathcal{I}_y}{\mathcal{I}_x}\right)\right\vert \label{eq:diff_sensation} \\
\left\vert\Delta\mathcal{S}_{x,y}\right\vert	& = & \left\vert\Delta\mathcal{S}_{y,x}\right\vert \nonumber
\end{eqnarray}

Ce facteur nous permet de déterminer la valeur perceptive des transitions; nous utiliserons en conséquence cette valeur comme facteur de pondération pour l'ensemble des transitions prises en compte dans le {\it Gray-to-Gray}, notée $\mathbb{T}^{\prime}$ avec $\mathbb{T}^{\prime} \subset \mathbb{T}$. Au final, le calcul de l'extension du {\it Gray-to-Gray}, noté $\tau_{G2G^2}$, est donné par l'équation~\eqref{eq:g2g2}.

\begin{equation}
\mathop{\tau_{G2G^2}}~~=~~
\mathop{\dfrac{\displaystyle 
	\sum_{T_{x}^{y} \in \mathbb{T}^{\prime}}^{}  
	\left\vert \Delta\mathcal{S}_{x,y} \right\vert ~.~ \tau(x,y)}
	{\displaystyle \sum_{T_{x}^{y} \in \mathbb{T}^{\prime}}^{} 
	\left\vert \Delta\mathcal{S}_{x,y} \right\vert}}
~~=~~
\mathop{\dfrac{\displaystyle 
	\sum_{T_{x}^{y} \in \mathbb{T}^{\prime}}^{}  
	\left\vert \log\left(\dfrac{\mathcal{I}_x}{\mathcal{I}_y}\right)\right\vert ~.~ \tau(x,y)}
	{\displaystyle \sum_{T_{x}^{y} \in \mathbb{T}^{\prime}}^{} 
	\left\vert \log\left(\dfrac{\mathcal{I}_x}{\mathcal{I}_y}\right)\right\vert}} 
\label{eq:g2g2}
\end{equation}

Comme pour le G2G original, il reste à définir le choix et le nombre de transitions de $\mathbb{T}^{\prime}$ pour compléter cette nouvelle métrique. Une sélection de manière équirépartie sur l'ensemble $\mathbb{T}$ semble le choix le plus simple et permet d'obtenir un éventail varié du facteur de pondération $\left\vert \log\left(\dfrac{\mathcal{I}_x}{\mathcal{I}_y}\right)\right\vert$. Enfin, le choix du nombre de transitions pris en compte dépendra du compromis toléré entre, d'une part, la précision des résultats désirés et, d'autre part, la complexité et le temps de calcul de la mesure, domaine que nous aborderons dans le prochain chapitre.

\subsection{Le MPRT}
Contrairement aux précédentes normes, le {\it Motion Picture Response Time} (ou MPRT) est une métrique prenant en compte, en plus du temps de réponse, le problème dû à l'effet échelon \citep{Igarashi2004, Oka2004}. Cette métrique, initiée en 2001 par un groupe d'industriels, permet ainsi d'intégrer des aspects visuels absents de la norme ISO et du G2G.\\

A partir du profil de flou engendré (mesuré en pixels), présenté sur la figure~\ref{fig:hold_lcd_schema} du chapitre précédent page~\pageref{fig:hold_lcd_schema}, la première étape du calcul du MPRT consiste à mesurer la taille du contour entre $10\%$ et $90\%$ de sa dynamique; cette première valeur, appelée BEW (pour {\it Blurred Edge Width}), est elle aussi mesurée en pixels et dépend de la vitesse de déplacement de l'objet pendant l'acquisition. Afin d'être indépendant de cette dernière valeur, le BEW est normalisée par la vitesse de déplacement de l'objet $\vec{v}$, valeur mesurée en pixels par trame et inférieure à un seuil, au dessus duquel la condition de suivi de l'objet par l'\oe il n'est plus respectée; on obtient le N-BEW (pour {\it Normalized Blurred Edge Width}) formalisé par l'équation~\eqref{eq:nbew}.
\begin{equation}
N-BEW = \dfrac{BEW}{\|\vec{v}\|}
\label{eq:nbew}
\end{equation}

Le N-BEW, mesuré en trames, ne dépend par conséquent plus de la séquence d'acquisition, mais uniquement des paramètres de l'écran de test et, plus particulièrement, de sa fréquence de rafraîchissement $f$ qui définit directement la durée de la trame (égale à $\dfrac{1}{f}$). On normalise donc le N-BEW par $f$ pour obtenir le $N-BET$ (pour {\it Normalized Blurred Edge Time}), mesuré en millisecondes. On obtient ainsi l'équation~\eqref{eq:nbet}.

\begin{equation}
N-BET = \dfrac{N-BET}{f}
\label{eq:nbet}
\end{equation}

Au final, le MPRT, mesuré en millisecondes, est calculé par la moyenne de tous les N-BET mesurés sur un ensemble de transitions $\mathbb{T}^{\prime} \subset \mathbb{T}$ (équation~\eqref{eq:mprt}).

\begin{eqnarray}
MPRT  & = & \dfrac{1}{Card(\mathbb{T}^{\prime})} \Sum_{T \in \mathbb{T}^{\prime}}^{} N-BET \nonumber \\
MPRT	& = & \dfrac{1}{Card(\mathbb{T}^{\prime})} \Sum_{T \in \mathbb{T}^{\prime}}^{} \dfrac{N-BEW}{f} \label{eq:mprt} \\
MPRT	& = & \dfrac{1}{Card(\mathbb{T}^{\prime})} \Sum_{T \in \mathbb{T}^{\prime}}^{} \dfrac{BEW}{f . \|\vec{v}\|} \nonumber
\end{eqnarray}

Prendre en compte le {\it hold effect} est l'un des principaux avantages du MPRT par rapport aux autres métriques de temps de réponse; en effet, cet aspect perceptif permet d'obtenir une bonne corrélation entre la valeur du MPRT et une évaluation subjective de l'écran LCD \citep{Someya2007, Yamamoto2003}. \\

Cette corrélation peut d'ailleurs être améliorée par l'ajout de fonctions psychovisuelles comme la fonction de sensibilité au contraste \citep{Oka2006} ({\it Contrast Sensibility Function}, ou CSF). Cependant, malgré cet atout qui pourrait être mis en valeur du point de vue commercial, le MPRT n'est, pour le moment, pas utilisé en tant qu'indice de qualité visuelle pour les écrans mis sur le marché.

\section{Conclusion}
Dans ce chapitre, nous nous sommes attachés à proposer une sorte de démystification du terme "temps de réponse". La mise en place préalable du formalisme mathématique nous a premièrement permis de nous familiariser avec ce terme et de clarifier les expressions concernant les transitions tout en simplifiant les notations futures. La présentation des trois métriques de temps de réponse utilisées (VESA, ISO et G2G) a ensuite permis de séparer les domaines d'utilisation de cette métrique en deux zones disjointes :\\
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Le domaine scientifique pour la norme VESA. Cette métrique se trouve être la base de tous les calculs de temps de réponse existants et, sans précision de notre part, sera celle utilisée tout au long de ce manuscrit.
\item[$\bullet$] Le domaine commercial pour la norme ISO 13 406-2 et le {\it Gray-to-Gray}, deux mesures qui se sont imposées comme métrique de qualité visuelle pour les écrans LCD.\\
\end{itemize}

Enfin, la recherche des avantages et inconvénients des métriques commerciales a permis de mettre en exergue des lacunes dans leur définition; en effet, bien que l'objectif principal de ces mesures soit d'évaluer de manière objective la qualité d'un écran LCD, celles-ci ne prennent absolument pas en compte le système visuel humain pour leurs calculs de temps de réponse. Cette constatation nous a donc permis la mise en \oe uvre de l'extension du {\it Gray-to-Gray} en ajoutant à la métrique existante cet aspect perceptif manquant.\\

A ce stade de l'étude du temps de réponse, il ne nous manque plus qu'à présenter les différents outils de mesure nécessaires pour capturer les transitions de luminosité d'un écran LCD. C'est ce que nous nous proposons de faire dans le chapitre suivant.
