\chapter{Réduction du temps de réponse basée sur les modélisations} \label{chap:new_overdrive}
% #####################################################################################################################
% Chap - Réduction de temps de réponse adaptatif
%	1 - Introduction
%	2 - Démarche
% 	3 - Solution théorique basée sur les modélisations
%		a) Pour les transitions à valeur initiale nulle
%		b) Pour les autres transitions	
% 		c) Bilan
% 	4 - Solution simplifiée
%		a) Pour les transitions à valeur initiale nulle
%		b) Pour les autres transitions	
%	5 - Résultats
%	6 - Conclusion	
% #####################################################################################################################

\section{Introduction}
La présentation de l'architecture de la solution {\it overdrive} dans le chapitre précédent nous a permis d'isoler différents problèmes liés à l'utilisation de la mémoire de correction. La première limitation provient du remplissage de la $Look-Up-Table$. En effet, celle-ci demande, pour chaque transition prise en compte, de nombreuses mesures afin de déterminer la valeur optimale d'{\it overshoot}, ce qui se traduit, par conséquent, par un temps non négligeable pour cette opération. Il est toutefois possible de réduire le nombre des transitions prises en compte ou de quantifier les valeurs de correction de la L.U.T. mais ces simplifications détériorent la précision des résultats. Le second problème lié à la L.U.T résulte de la simplicité de mise en \oe uvre de la solution; en effet, l'utilisation d'une unique mémoire de correction implique que son fonctionnement s'effectue à fréquence de rafraîchissement fixe. Pour chaque nouvelle fréquence considérée, une nouvelle L.U.T. est ainsi nécessaire ce qui augmente la taille du circuit et par conséquent son coût.\\

Afin de permettre une utilisation de l'{\it overdrive} quelle que soit la fréquence de rafraîchissement de l'écran tout en augmentant la précision des valeurs d'{\it overshoot}, ce chapitre va proposer une technique de réduction du temps de réponse fondée sur les modélisations présentées dans la partie~\ref{part:modele}. Nous allons commencer par présenter la démarche envisagée puis nous résoudrons les différentes équations d'{\it overdrive} avant d'évaluer les résultats obtenus.

\section{Démarche envisagée}
Dans cette section, nous allons présenter la démarche envisagée afin d'utiliser nos deux modélisations mathématiques en vue d'une technique de réduction de temps de réponse. Soit $\mathcal{C}_{x,y,\tau}(t)$ la courbe représentant l'évolution de la luminosité de $T_{x}^{y}$, avec $\tau = \tau(x,y)$. Pour rappel, l'objectif des méthodes de type {\it overdrive} est de veiller à ce que l'ensemble des transitions atteignent à l'instant $\dfrac{1}{f}$ leur valeur finale, affirmation formalisée par l'équation~\eqref{eq:objectif_overdrive}.

\begin{equation}
\mathcal{C}_{x,y,\tau}(\dfrac{1}{f}) = y
\label{eq:objectif_overdrive}
\end{equation}

Lorsque cette précédente relation ne peut être vérifiée (i.e. lorsque $\tau > frac{1}{f}$), la méthode consiste à modifier la valeur finale de transition $y$ vers la valeur $y^{\prime}$ (avec $y^{\prime} > y $ dans le cas d'un {\it overshoot} et $y^{\prime} < y $  pour un {\it undershoot}) afin que la nouvelle transition atteigne à l'instant $\dfrac{1}{f}$ la précédente valeur finale $y$. \\

Après l'instant $\dfrac{1}{f}$, une autre transition débute et par conséquent la valeur $y^{\prime}$ n'est jamais atteinte. Ce changement de valeur finale modifie cependant, entre $t = 0$ et $t = \dfrac{1}{f}$, la nature de la transition et le temps de réponse entre $x$ et $y$ est par conséquent modifié; nous obtenons ainsi l'équation~\eqref{eq:methode_overdrive}.
\begin{equation}
\mathcal{C}_{x,y^{\prime},\tau^{\prime}}(\dfrac{1}{f})~~=~~y
\label{eq:methode_overdrive}
\end{equation} 

avec $\tau^{\prime} = \tau(x,y^{\prime})$.En utilisant la relation reliant le temps de réponse de $T_x^y$ aux variables $x$ et $y$ (utilisant l'équation~\eqref{eq:nv_modele7} page~\pageref{eq:nv_modele7}), nous pouvons simplifier l'équation~\eqref{eq:methode_overdrive} en supprimant la redondance exprimée par $\tau^{\prime}$ et obtenir ainsi l'équation~\eqref{eq:methode2_overdrive}.

\begin{equation}
\mathcal{C'}_{x,y^{\prime}}(\dfrac{1}{f})~~=~~y
\label{eq:methode2_overdrive}
\end{equation} 

avec $\mathcal{C'}$ la nouvelle fonction issue de $\mathcal{C}$ et décrivant $\tau^{\prime}$ par le couple $(x, y^{\prime})$. La figure~\ref{fig:formalisme_principe_overdrive} montre la représentation graphique des équations et relations précédemmment introduites.

\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{./Part4/image/part4_chap2/formalisme_principe_overdrive.png}
\caption{Représentation des relations mises en jeu dans l'{\it overdrive}}
\label{fig:formalisme_principe_overdrive}
\end{figure}

L'objectif de la suite de ce chapitre consiste à déterminer la valeur de $y^{\prime}$ pour pouvoir vérifier l'équation~\eqref{eq:methode_overdrive} en remplaçant la fonction $\mathcal{C}_{x,y,\tau}(t)$ par $\Psi_{x,y}(t)$ (fonction du modèle en tangente hyperbolique) ou par $\Phi_{x,y}(t)$ (fonction du modèle en exponentiel).

\section{Solution théorique basée sur les modélisations}  \label{sec:sol_theorique}
Dans cette section, nous allons exploiter l'équation~\eqref{eq:methode_overdrive} en remplaçant la fonction $\mathcal{C}(t)$ par les modèles mathématiques déterminés dans les chapitres précédents afin de calculer la valeur de correction pour chaque transition de $\mathbb{T}$. La spécificité de $\mathbb{T}_{0}$ étant mieux représentée par la fonction $\Psi_{x,y}(t)$, décrivant le comportement en tangente hyperbolique des cellules, nous allons commencer par nous focaliser sur ces transitions avant d'étendre notre étude à l'ensemble $\mathbb{T}$. Enfin, nous établirons un bilan de cette première tentative de résolution.

	\subsection{Pour les transitions à valeur initiale nulle} \label{subsec:trans_from_0}
Dans cette sous-section, nous allons utiliser les équations~\eqref{eq:modele_polynom} et~\eqref{eq:modele_tanh} présentées dans le chapitre~\ref{chap:hyperbolique} décrivant respectivement le temps de réponse de $\mathbb{T}_0$ et la fonction en tangente hyperbolique de ${T}_0^y$. A l'aide de ces deux équations, nous allons remplacer dans l'équation~\eqref{eq:methode2_overdrive} la fonction $\mathcal{C'}_{0,y^{\prime}}(t)$ par $\Psi_{0,y^{\prime}}(t)$ et $\tau$ par sa représentation polynomiale. On obtient ainsi $\Psi_{0,y^{\prime}}(\dfrac{1}{f}) = y$ représentée analytiquement par l'équation~\eqref{eq:overdrive_bourrin}.

\begin{equation}
\left(\tanh\left(\frac{2\times\tanh^{-1}(0.8)\times(\dfrac{1}{f} - t_{\varepsilon})}{\tau(0,y^{\prime})}\right) + 1\right) \times \frac{y^{\prime}}{2} =  y\\
\label{eq:overdrive_bourrin}
\end{equation}

Les simplifications suivantes sont successivement appliquées à l'équation~\eqref{eq:overdrive_bourrin}.
\begin{enumerate}
\item division des membres par $\frac{y^{\prime}}{2}$,
\item soustraction par $1$ et passage en $\tanh^{-1}$ des deux membres,
\item multiplication des membres par $\tau(0,y^{\prime})$ et remplacement de sa valeur par $\Sum_{k=0}^{d}{a_k . {y^{\prime}}^k}$,
\item remplacement de $\tanh^{-1}\left(\frac{2 \times y}{y^{\prime}} - 1\right)$ par  $\frac{1}{2}~\ln\left(\frac{y}{y^{\prime}} - y\right)$.
\end{enumerate}

On obtient finalement l'équation~\eqref{eq:overdrive_bourrin2}.
\begin{equation}
4\times\tanh^{-1}(0.8)\times(\dfrac{1}{f} - t_{\varepsilon}) = \Sum_{k=0}^{d}{a_k . {y^{\prime}}^k} \ln\left(\dfrac{y}{y^{\prime} - y}\right)
\label{eq:overdrive_bourrin2}
\end{equation}

Plusieurs difficultés de résolution apparaissent pour cette équation. Premièrement, nous notons la présence du retard $t_{\varepsilon}$, valeur difficilement quantifiable de manière formelle. En effet, ce retard permet surtout d'ajuster le modèle par rapport à la transition mesurée et de réduire ainsi l'erreur relative. La valeur de ce retard variant selon les transitions étudiées, on ne pourra l'estimer qu'à partir des données réelles mais ceci nécessite l'acquisition de toutes les transitions estimées.\\

La difficulté majeure est la résolution formelle de cette équation. En effet, il n'y a pas de représentation "simple" de $y^{\prime}$ et l'on se voit contraint d'utiliser un logiciel de calcul numérique pour retrouver la valeur de l'{\it overshoot} recherchée.

	\subsection{Pour les autres transitions}
Dans cette sous-section, nous allons maintenant nous pencher sur le calcul de la valeur de correction pour les autres transitions. Nous commencerons par l'étude dans ${}^{\uparrow}\mathbb{T}_{*}$ avec le modèle en tangente hyperbolique et nous nous pencherons ensuite sur l'ensemble $\mathbb{T}_{*}$ et l'utilisation de la modélisation en exponentielle.

		\subsubsection{Avec le modèle en tangente hyperbolique}
Pour les transitions de ${}^{\uparrow}\mathbb{T}_{*}$, nous utiliserons la même méthodologie que dans la section~\ref{subsec:trans_from_0} de ce chapitre en remplaçant dans l'équation~\eqref{eq:methode2_overdrive} la fonction $\mathcal{C'}_{x,y^{\prime}}(t)$ par $\Psi_{x,y^{\prime}}(t)$ et $\tau$ par sa représentation polynomiale. Nous obtenons ainsi, pour $t \leqslant 0$, l'équation~\eqref{eq:overdrive_bourrin3}.

\begin{equation}
\left(\tanh\left(\frac{2\times\tanh^{-1}(0.8)\times(\dfrac{1}{f} - t_{\varepsilon} + t_x^{\prime})}{\tau(0,y^{\prime})}\right) + 1\right) \times \frac{y^{\prime}}{2} =  y\\
\label{eq:overdrive_bourrin3}
\end{equation}
avec $t_x^{\prime} - t_{\varepsilon} = \dfrac{\tau(0,y^{\prime}) \cdot \tanh^{-1}(\frac{2 \cdot x}{y^{\prime}} - 1)}{2 \cdot \tanh^{-1}(0.8)}$.

Après le remplacement de $t_x^{\prime} - t_{\varepsilon}$ par sa valeur et les mêmes simplifications opérées que dans la section précédente, on obtient finalement l'équation~\eqref{eq:overdrive_bourrin4}.
\begin{equation}
\dfrac{4\times\tanh^{-1}(0.8)}{f} = \Sum_{k=0}^{d}{a_k . {y^{\prime}}^k} \ln\left(\dfrac{y \cdot (y^{\prime} - x)}{x \cdot (y^{\prime} - y)}\right)
\label{eq:overdrive_bourrin4}
\end{equation}

Dans ce cas, le problème dû au retard a entièrement disparu (le début de la transition étant défini grâce à la valeur de $t_x$). Cependant, la résolution formelle n'est toujours pas chose facile et comme dans la section précédente, nous utiliserons un logiciel de calcul numérique pour résoudre l'équation~\eqref{eq:overdrive_bourrin4}.

		\subsubsection{Avec le modèle en exponentielle}
Nous utiliserons maintenant le modèle en exponentielle décrit par l'équation~\eqref{eq:nv_exp} et présenté dans le chapitre~\ref{chap:exponentiel}. Le remplacement de la fonction $\mathcal{C'}_{x,y^{\prime}}(t)$ par $\Phi_{x,y^{\prime}}(t)$ nous donne l'équation~\eqref{eq:overdrive_bourrin5}.

\begin{equation}
y^{\prime} + (x - y^{\prime}) \cdot \expo{-\frac{\ln 9}{\tau(x,y^{\prime})} \frac{1}{f}} =  y\\
\label{eq:overdrive_bourrin5}
\end{equation}

Les simplifications suivantes sont successivement appliquées à l'équation~\eqref{eq:overdrive_bourrin5}.
\begin{enumerate}
\item soustraction par $y^{\prime}$,
\item division par $x - y^{\prime}$ et passage de la fonction $\ln$ des deux membres,
\item multiplication des membres par $\tau(x,y^{\prime})$ et remplacement par $\tau(0,y^{\prime}) R(p)$ (cf équation~\eqref{eq:nv_modele6} du chapitre~\ref{chap:hyperbolique} page~\pageref{eq:nv_modele6}).
\end{enumerate}

On obtient finalement l'équation~\eqref{eq:overdrive_bourrin6}.
\begin{equation}
\dfrac{2 \ln(9)^2}{f} =  \tau(0,y^{\prime}) \ln\left(1 + \dfrac{16}{1.8 \frac{x}{y^{\prime}} + 0.2}\right) \ln\left(\dfrac{y^{\prime} - x}{y^{\prime} - y}\right)
\label{eq:overdrive_bourrin6}
\end{equation}

Comme pour l'équation~\eqref{eq:overdrive_bourrin4}, nous obtenons une solution sans la présence d'un retard mais dont la résolution nécessite encore l'intervention d'un logiciel de calcul numérique.

	\subsection{Bilan}
Le bilan de cette tentative de création d'{\it overdrive} par l'utilisation des deux modèles présentés dans les chapitres~\ref{chap:hyperbolique} et~\ref{chap:exponentiel} est assez mitigé. En effet, pour chacune des équations étudiées, l'utilisation d'un logiciel de calcul numérique est nécessaire à sa résolution;  cette méthode de résolution ne peut être intégrée dans un circuit pour LCD. Cependant, cette étude n'est pas inutile car elle permet en théorie un remplissage de la mémoire de correction de manière plus rapide. \\

En effet, contrairement à la solution en boucle fermée présentée par la figure~\ref{fig:rempli_lut} page~\pageref{fig:rempli_lut} qui tente d'arriver à la correction optimale en effectuant une estimation pas à pas, notre solution trouve une première valeur de correction, proche de la solution optimale et utilise ensuite la même boucle de régulation pour arriver au résultat souhaité. La figure~\ref{fig:rempli_lut_modele} montre le schéma de notre solution.

\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{./Part4/image/part4_chap2/rempli_lut_modele.png}
\caption{Méthode de remplissage de L.U.T. à l'aide des modèles}
\label{fig:rempli_lut_modele}
\end{figure}

Dans le cas d'un algorithme de type {\it overdrive}, le temps de réponse de l'ensemble $\mathbb{T}_x$ est une fonction monotone (croissante ou décroissante) avec comme paramètre la valeur finale de la transition $y$ (avec $y < x$ pour dans le cas de ${}^{\downarrow}\mathbb{T}_x$ et $y > x$ pour ${}^{\uparrow}\mathbb{T}_x$). Ainsi, il n'existe qu'une seule et unique valeur optimale de correction (pas de solution optimale locale). De ce fait, avec notre méthode, la boucle de régulation est beaucoup moins utilisée du fait que le point de départ de la recherche de la valeur optimale est proche de cette valeur. \\

Cependant, cette solution ne nous convient que partiellement; en effet, celle-ci contient toujours une L.U.T. ce qui l'empêche d'être flexible par rapport au paramètre de l'écran. Dans l'objectif d'effectuer ces mêmes calculs "à la volée", c'est-à-dire directement au sein du circuit, nous proposons d'écarter cette solution et de nous focaliser uniquement sur les solutions sans L.U.T. Pour cela, nous allons effectuer dans la section suivante une approximation des équations mises en jeu afin d'obtenir une écriture simplifiée des solutions.

\section{Solution simplifiée}
Nous avons vu que résoudre directement de manière formelle les précédentes équations pose certaines difficultés qu'il est possible de contourner en simplifiant les différentes équations mises en jeu. C'est ce que nous proposons de faire dans cette section afin d'obtenir des valeurs de correction pouvant être facilement calculées.

	\subsection{Pour les transitions à valeur initiale nulle} \label{sec:overdrive_0}
Le principale problème de l'équation~\ref{eq:overdrive_bourrin2} provient de l'absence de véritable point de départ de la tangente hyperbolique et par conséquent, la présence du retard $t_{\varepsilon}$ est problématique. Ainsi, il est difficile de quantifier précisément sur ce modèle l'instant $\dfrac{1}{f}$. Une solution que nous préconisons est l'approximation du premier ordre du modèle en tangente hyperbolique, consistant à une linéarisation de la fonction. \\

On se retrouve ainsi dans la configuration du modèle linéaire présenté dans la section~\ref{subsec:modele_transition_existant} du chapitre~\ref{chap:mise_en_place_modele} page~\pageref{subsec:modele_transition_existant}. Cependant, nous supposons que nous conservons toutes les relations qui ont été préalablement établies comme par exemple la connaissance de l'évolution des temps de réponse de $\mathbb{T}_0$.\\

Soit $T_0^y$ la transition estimée et $\mathcal{C}_{y}(t)$ la fonction représentant cette transition. Pour rappel, $\mathcal{C}_{y}(t)$ est défini comme suit :\\
\begin{itemize}
\item Pour $t < 0$, $\mathcal{C}_{y}(t) = 0$ 
\item Pour $0 \leqslant t \leqslant  \frac{\tau(0,y)}{0.8}$, $\mathcal{C}_{y}(t) = \dfrac{0.8 \cdot y \cdot t}{\tau(0,y)}$
\item Pour $t > \frac{\tau(0,y)}{0.8}$, $\mathcal{C}_{y}(t) = y$\\
\end{itemize}

Nous désirons toujours que, pour les transitions avec $\tau(0,y) > \dfrac{1}{f}$, on obtienne $\mathcal{C}_{y}(\frac{1}{f}) = y$ ; le moyen employé reste la modification de $y$ en $y^{\prime}$ (et donc de $\tau(0,y)$ en $\tau(0,y^{\prime})$). On obtient ainsi l'équation~\ref{eq:overdrive_simple1}.

\begin{equation}
\mathcal{C}_{y^{\prime}}(\frac{1}{f}) = \dfrac{0.8 \cdot y^{\prime} \cdot \frac{1}{f}}{\tau(0,y^{\prime})} = y \label{eq:overdrive_simple1}
\end{equation}

Nous allons maintenant remplacer dans la précédente équation $\tau(0,y^{\prime})$ par sa représentation polynomiale en $y^{\prime}$ de degré $n$ (i.e. $\tau(0,y^{\prime}) = \Sum_{k=0}^{k=n} a_k \cdot {y^{\prime}}^{k}$). L'équation~\eqref{eq:overdrive_poly_simple} obtenue est aussi un polynôme de degré $n$ qu'il faut maintenant résoudre.

\begin{equation}
0.8 \cdot y^{\prime} \cdot \dfrac{1}{f} = y \cdot \Sum_{k=0}^{k=n} a_k \cdot {y^{\prime}}^{k} \label{eq:overdrive_poly_simple}
\end{equation}

La résolution formelle de cette équation dépendant de $n$, nous obtenons au final la solution~\eqref{eq:sol_d1} pour $n = 1$ (i.e. $\tau(0,y^{\prime}) = a_1 \cdot y^{\prime} + a_0$) et la solution~\eqref{eq:sol_d2} pour $n = 2$ (i.e. $\tau(0,y^{\prime}) = a_2 \cdot {y^{\prime}}^{2} + a_1 \cdot y^{\prime} + a_0$).

\begin{eqnarray}
cas n = 1 & y^{\prime} = & \dfrac{a_0 \cdot y}{\frac{0.8}{f} - a_1 \cdot y)} \label{eq:sol_d1} \\
& & \nonumber \\
cas n = 2 & y^{\prime} = & \dfrac{\frac{0.8}{f \cdot y} - a_1 + \sqrt{(a_1 - \frac{0.8}{f \cdot y})^{2} - 4 \cdot a_2 \cdot a_0}}{2 \cdot a_2} \label{eq:sol_d2}
\end{eqnarray}

Au final, les solutions proposées ici sont représentées de manière simple et ne nécessitent pas d'intervention de solveur numérique pour leur calcul. Nous allons maintenant continuer nos simplifications avec les autres transitions.

	\subsection{Pour les autres transitions}
En ce qui concerne les transitions de $\mathbb{T}_{*}$, nous sommes parvenus dans la première section de ce chapitre à une impasse sur la résolution des équations. Contrairement à précédemment, nous ne sommes nullement confrontés à la présence d'un retard mais uniquement aux difficultés de résolution des équations. Pour ce faire, nous allons procéder de la même manière que la précédente sous-section en effectuant au modèle en tangente hyperbolique une approximation du premier ordre. Malgré cette simplification du modèle, nous considérons que les relations des précédentes modélisations (relation de superpsoition, relation entre les temps de réponse, ...) sont toujours valides.\\

Soit $T_x^y$ la transition estimée et $\mathcal{C}_{x,y}(t)$ la fonction représentant cette transition. Pour rappel, $\mathcal{C}_{x,y}(t)$ est défini comme suit :\\
\begin{itemize}
\item Pour $t < 0$, $\mathcal{C}_{x,y}(t) = x$ 
\item Pour $0 \leqslant t \leqslant  \frac{\tau(x,y)}{0.8}$, $\mathcal{C}_{x,y}(t) = \dfrac{0.8 \cdot (y - x) \cdot t}{\tau(x,y)} + x$
\item Pour $t > \frac{\tau(x,y)}{0.8}$, $\mathcal{C}_{x,y}(t) = y$\\
\end{itemize}

Notre objectif principal reste que, pour les transitions avec $\tau(x,y) > \dfrac{1}{f}$, on obtienne la relation $\mathcal{C}_{x,y}(\frac{1}{f}) = y$ comme le montre la figure~\ref{fig:overdrive_lineaire}. 

\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=0.85\textwidth]{./Part4/image/part4_chap2/overdrive_lineaire.png}
\caption{Représentation de la transition utilisée pour le calcul de la correction de $T_{32}^{56}$}
\label{fig:overdrive_lineaire}
\end{figure}

Le moyen employé reste la modification de $y$ en $y^{\prime}$ (et donc de $\tau(x,y)$ en $\tau(x,y^{\prime})$). On obtient ainsi l'équation~\ref{eq:overdrive_simple2}.

\begin{equation}
\mathcal{C}_{x,y^{\prime}}(\frac{1}{f}) = \dfrac{0.8 \cdot (y^{\prime} - x) \cdot \frac{1}{f}}{\tau(x,y^{\prime})} + x = y \label{eq:overdrive_simple2}
\end{equation}

Contrairement aux transitions de $\mathbb{T}_0$, le problème de cette équation provient de la représentation de $\tau(x,y^{\prime})$ par $R(p^{\prime}) \cdot \tau(0,y^{\prime})$ avec $p^{\prime} = \dfrac{x}{y^{\prime}}$. En effet, pour obtenir la valeur de correction désirée, il faudrait extraire de $R(p^{\prime})$ la valeur $y^{\prime}$ ce qui n'est pas possible de manière simple. Afin de contourner cette difficulté et obtenir ainsi une solution simple à représenter, nous allons remplacer dans $R(p^{\prime})$ la valeur $p^{\prime}$ par $p = \dfrac{x}{y}$ et effectuer ensuite une boucle de correction comme le montre l'algorithme ci dessous.
\begin{center}
\begin{minipage}[htb]{0.7\textwidth}
\begin{algorithme}
\begin{tabbing}
$\tau(x,y^{\prime})$ \= $\leftarrow$ \= $\dfrac{\tau(0,y^{\prime})}{4 \cdot \ln(3)} \cdot \ln(1 + \dfrac{16}{1.8 \cdot \frac{x}{y} + 0.2})$ \\
$y^{\prime}$ \> $\leftarrow$ \> $\dfrac{f \cdot (y - x)}{0.8} \cdot \tau(x,y^{\prime}) + x$ \\
$y^{\prime \prime}$ \> $\leftarrow$ \> $y^{\prime}$
\end{tabbing}
\While{$\dfrac{\Vert y^{\prime} - y^{\prime \prime}\Vert}{\Vert y^{\prime} \Vert} < \epsilon$}
{
\begin{tabbing}
$\tau(x,y^{\prime \prime})$ \= $\leftarrow$ \= $\dfrac{\tau(0,y^{\prime \prime})}{4 \cdot \ln(3)} \cdot \ln(1 + \dfrac{16}{1.8 \cdot \frac{x}{y^{\prime \prime}} + 0.2})$\\
$y^{\prime \prime}$ \> $\leftarrow$ \> $\dfrac{f \cdot (y - x)}{0.8} \cdot \tau(x,y^{\prime  \prime}) + x$
\end{tabbing}
}
\Return $y^{\prime \prime}$
\caption{Algorithme de correction pour $T_x^y$}
\end{algorithme}
\end{minipage}
\end{center}

Au final, comme pour les transitions issues de $\mathbb{T}_0$, les solutions proposées sont représentées de manière simple, malgré la présence d'une boucle de correction et cette approche ne nécessite pas de solveur numérique. Dans la prochaine section, nous allons nous pencher sur les résultats numériques et visuels de nos deux solutions.

\section{Tests subjectifs et résultats}
Dans cette section, nous allons présenter les résultats numériques et visuelles de la méthode de réduction automatique de temps de réponse sans mémoire de correction. Pour cela, nous allons confronter pour un ensemble de transition le temps de réponse avant correction, le temps après correction ainsi que les améliorations ou dégradations visuelles obtenues avec nos algorithmes. \\

Afin d'évaluer subjectivement la qualité visuelle de l'amélioration, nous avons mis en place un ensemble de symboles, représenté sur le tableau~\ref{tab:symbole_eval}.

\begin{table}[ht]
\begin{center}
\begin{tabular*}{0.95\textwidth}{@{\hspace{3ex}} c c @{\hspace{3ex}}}
\hlinewd{1pt}
{\large\strut Symbole}& {\large\strut Signification}\\
\hlinewd{1pt}
\textcolor{blue}{\bf \Large -~-} &  Faible diminution du flou et persistance des effets de traînées.\\
\textcolor{blue}{\bf \Large -} &  Importante diminution du flou et persistance des effets de traînées. \\
\textcolor{green}{$\surd$} & Disparition complète du flou dû au temps de réponse. \\
\textcolor{red}{\bf \Large +} & Disparition du flou mais apparition d'un léger {\it overshoot}. \\
\textcolor{red}{\bf \Large +~+} &  Disparition du flou mais apparition d'un {\it overshoot} important. \\
\hlinewd{1pt}
\end{tabular*}
\end{center}
\caption{Symboles utilisés pour l'estimation de la qualité visuelle de l'écran}
\label{tab:symbole_eval}
\end{table}

 Trois cas se présentent lors des corrections :

\begin{itemize}
\item La correction n'est pas assez importante (\textcolor{blue}{\bf \Large -} et \textcolor{blue}{\bf \Large --}) auquel cas le flou sera diminué mais non supprimé.
\item La correction est suffisante (\textcolor{green}{$\surd$}) : le flou dû au temps de réponse aura complètement disparu.
\item La correction est trop importante (\textcolor{red}{\bf \Large +} et \textcolor{red}{\bf \Large ++}) et par conséquent les phénomènes de traînées seront supprimés mais il apparaîtra des fausses couleurs dues à une sur-correction.\\
\end{itemize}

Concernant le protocole mis en place pour les test subjectifs, nous utiliserons, sur l'écran LCD de test, des séquences mettant en relief les problèmes de temps de réponse pour les transitions définies (présentées annexe~\ref{annexe:sequence}); chaque séquence représente une bande verticale de niveaux de gris se déplaçant de gauche à droite, puis de droite à gauche, à vitesse constante sur un fond uniforme.\\

Nous avons effectué pour les 30 séquences existantes (représentant donc 30 transitions) 10 mesures subjectives. Chaque séquence est découpée en cinq bandes horizontales de même hauteur ; nous appliquons de manière logicielle notre algorithme de réduction du temps de réponse sur les bandes paires tandis qu'aucun traitement n'est effectué sur les bandes impaires, comme représentée par la figure~\ref{fig:test_subjectif}. \\

\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{./Part4/image/part4_chap2/test_subjectif.png}
\caption{Capture d'une image de la séquence de test après traitement logiciel}
\label{fig:test_subjectif}
\end{figure}

La vidéo ainsi créée peut être visualisée autant de fois qu'on le désire et la présence, sur la même séquence, de la transition originale et la transition corrigée permet de comparer et de noter facilement les effets de correction d'une transition définie.\\

Les algorithmes de réduction de temps de réponse ont été paramétrés à l'aide de $7$ mesures de $\mathbb{T}_0$ et d'une représentation polynomiale du temps de réponse de degré $2$. Concernant les transitions de $\mathbb{T}_{*}$, nous avons effectué les calculs d'amélioration de la qualité d'image premièrement sans boucle de correction et deuxièmement en activant cette fonction.

Les résultats, présentés sur la tableau~\ref{tab:res_overdrive_modele}, montrent une partie des transitions testées, le temps de réponse d'origine ($\tau_O$), le temps de réponse après correction ($\tau_C$), le gain obtenu en $\%$ ($\dfrac{\Vert \tau_O - \tau_C \Vert}{\Vert \tau_O \Vert}$) et enfin l'effet visuel après l'application de la correction lors du test subjectif (avec les symboles du tableau~\ref{tab:symbole_eval}).\\

\begin{table}[ht]
\begin{center}
\begin{tabular*}{0.926\textwidth}{|c|c|c c c|c c c|}
\hlinewd{1pt}
 & & \multicolumn{3}{c|}{\large\strut Sans boucle de correction} & \multicolumn{3}{c|}{\large\strut Avec boucle de correction} \\
\cline{3-8}
\multirow{2}{*}{\large\strut Transition} & \multirow{2}{*}{\large\strut $\tau$ originel} & {\large\strut $\tau$ après} & {\large\strut Gain } & \multirow{2}{*}{\large\strut Effet } & {\large\strut $\tau$ après} & {\large\strut Gain } & \multirow{2}{*}{\large\strut Effet }\\
 & & {\large\strut correction} & (en $\%$) & & {\large\strut correction} & (en $\%$) & \\
\hlinewd{1pt}
$T_{0}^{64}$ & $61.2$ ms & $17.4$ ms& $71.5$ $\%$ & \textcolor{blue}{\bf \Large -} & \multicolumn{3}{|>{\columncolor[gray]{0.5}}c|}{} \\
$T_{0}^{96}$ & $43.6$ ms & $13.9$ ms& $68.1$ $\%$ & \textcolor{green}{$\surd$} & \multicolumn{3}{|>{\columncolor[gray]{0.5}}c|}{} \\
$T_{0}^{128}$ & $35.0$ ms & $15.1$ ms& $56.8$ $\%$ & \textcolor{green}{$\surd$} & \multicolumn{3}{|>{\columncolor[gray]{0.5}}c|}{} \\
$T_{0}^{192}$ & $20.9$ ms & $14.7$ ms& $29.7$ $\%$ & \textcolor{green}{$\surd$} & \multicolumn{3}{|>{\columncolor[gray]{0.5}}c|}{} \\
$T_{32}^{96}$ & $36.6$ ms & $24.4$ ms& $33.3$ $\%$ & \textcolor{red}{\bf \Large +} & $15.3$ ms& $58.2$ $\%$  & \textcolor{green}{$\surd$} \\
$T_{32}^{128}$ & $33.1$ ms & $21.5$ ms& $35.0$ $\%$ & \textcolor{red}{\bf \Large +} & $14.8$ ms& $55.3$ $\%$  & \textcolor{green}{$\surd$} \\
$T_{32}^{192}$ & $19.8$ ms & $18.1$ ms& $8.6$ $\%$ & \textcolor{red}{\bf \Large +} & $15.2$ ms& $23.2$ $\%$  & \textcolor{green}{$\surd$} \\
$T_{64}^{128}$ & $31.5$ ms & $22.4$ ms& $28.9$ $\%$ & \textcolor{red}{\bf \Large +} & $14.9$ ms& $52.7$ $\%$  & \textcolor{green}{$\surd$} \\
$T_{96}^{192}$ & $19.3$ ms & $17.7$ ms& $8.3$ $\%$ & \textcolor{red}{\bf \Large +~+} & $13.6$ ms& $29.5$ $\%$  & \textcolor{green}{$\surd$} \\
$T_{128}^{192}$ & $18.3$ ms & $17.4$ ms& $4.9$ $\%$ & \textcolor{red}{\bf \Large +~+} & $14.9$ ms& $18.6$ $\%$  & \textcolor{red}{\bf \Large +} \\
\hlinewd{1pt}
\end{tabular*}
\end{center}
\caption{Résultat numérique et visuel pour un ensemble de transitions}
\label{tab:res_overdrive_modele}
\end{table}

Les résultats obtenus montrent une réduction conséquente des temps de réponse des transitions ainsi que des artefacts de flou. En calculant le temps de réponse {\it Gray-to-Gray} sans et avec correction et en utilisant les transitions présentées dans le tableau~\ref{tab:res_overdrive_modele}, nous obtenons un temps de réponse de $32.9$ ms sans la correction et de $15.0$ ms avec notre méthode ce qui correspond à un gain de plus de $54\%$. \\

Nous observons aussi la nécessité de la boucle de correction pour les transitions de $\mathbb{T}_{*}$ qui évite l'apparition d'une sur-compensation due à l'approximation que nous avons faite dans la section précédente. La convergence de cette boucle de correction est cependant rapide avec en moyenne deux itérations pour obtenir la valeur de la correction finale.\\

Les figures~\ref{fig:tps_rep_ss_overdrive} et ~\ref{fig:tps_rep_avec_overdrive} montrent respectivement la cartographie des temps de réponse sans aucune correction et cette même cartographie en utilisant notre solution sans L.U.T. pour un écran à 60 Hz.\\

\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}[c]{0.49\linewidth}
\centering
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{./Part4/image/part4_chap2/tps_rep_ss_overdrive.png}
\caption{Cartographie des temps de réponse avant correction à 60 Hz}
\label{fig:tps_rep_ss_overdrive}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[c]{0.49\linewidth}
\centering
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{./Part4/image/part4_chap2/tps_rep_avec_overdrive.png}
\caption{Cartographie des temps de réponse après correction à 60 Hz}
\label{fig:tps_rep_avec_overdrive}
\end{minipage}
\end{figure}

Il subsiste cependant un nombre très restreint de transitions générant des légers effets de traînées : ceci correspond aux nombreuses approximations et erreurs que nous nous sommes permis pour obtenir ces résultats :
\begin{itemize}
\item Répétabilité de la mesure de temps de réponse avec nos systèmes.
\item Approximation du modèle polynomiale du deuxième ordre pour représenter les $7$ temps de réponse de $\mathbb{T}_0$ pris en compte.
\item Linéarisation du modèle en tangente hyperbolique.\\
\end{itemize}

Malgré toutes ces imprécisions, la cartographie des temps de réponse et la qualité visuelle de l'écran est grandement changée et ce, uniquement à l'aide de $7$ temps de réponse et de la connaissance des modèles présentés ce qui représente une importante évolution dans les algorithmes de type {\it overdrive}. L'impact sur la complexité est cependant importante du fait des fonctions mises en jeu dans les équations difficiles à implémenter. Ces solutions seront donc plutôt réservées aux applications où des calculateurs sont déjà présents.

\section{Conclusion}
Afin d'augmenter les possibilités d'évolution et les performances des solutions de type {\it overdrive} basées sur une mémoire de correction, ce chapitre s'est attaché à présenter les applications de nos deux modèles mathématiques dans le domaine de la réduction du temps de réponse. Devant la complexité de la résolution des équations mises en jeu, deux solutions ont été proposées. La première méthode s'appuie sur la résolution numérique des équations pour le remplissage de la L.U.T. en minimisant le nombre de mesures tandis que la seconde, approchant les équations obtenues, permet d'obtenir un {\it overdrive} fondé sur une unité de calcul pour le calcul à la volée des valeurs de correction en prenant en compte la fréquence de rafraîchissement de l'écran. Puisque basée sur des équations décrivant le comportement des cristaux selon divers paramètres, cette dernière solution a l'avantage de pouvoir être améliorée par la prise en compte de nouvelles variables (par exemple la température). \\

Cependant, cette deuxième solution, présentant un coût en terme de complexité assez élevé, est plutôt réservée à des applications pour les moniteurs et les téléviseurs; les appareils mobiles, possédant des fortes contraintes d'intégration ne pourront donc pas  bénéficier de cet algorithme mais pourront tout de même profiter des techniques de réduction du temps de réponse, comme nous allons le voir dans le chapitre suivant.
