\chapter{Régression polynomiale pour la modélisation du temps de réponse} \label{annexe:regression}

Soient $m$ mesures expérimentales représentées par $m$ valeurs finales et temps de réponse. Les deux données sont associées en couples sous la forme $\left(\tau(0,y_k), y_k\right)_{0 \leqslant k \leqslant m-1}$. Le choix du nombre de couples est un facteur primordial à une bonne modélisation ; utiliser un grand nombre de couples ($m > d+1$) donne une approximation proche de la réalité mais il n'est plus possible que chaque couple vérifie parfaitement l'équation \eqref{eq:modele_polynom}. En effet, si tel était le cas, nous aurions un système de $m$ équations à $d+1$ inconnues; un tel système ne pourrait être résolu à moins que certaines équations soient identiques à un coefficient près.\\

Nous allons donc supposer que chaque couple vérifie l'équation \eqref{eq:modele_polynom} mais à un facteur d'erreur près notée $r$. On obtient donc l'équation \eqref{eq:modele_polynom_erreur}.

\begin{equation}
\tau(0,y) = \sum_{k=0}^{d}{a_k . y^k + r} 
\label{eq:modele_polynom_erreur}
\end{equation}

Déterminer les $(a_k)_{0\leqslant k \leqslant d}$ optimaux revient donc à résoudre le système \eqref{eq:sys_modele_polynom}.

\begin{systemeq}
		\tau(0,y_0)	 & =\hspace{2em} \Sum_{k=0}^{d}{a_k~\cdot~{y_0}^k + r_0} \\ 
		\tau(0,y_1)	 & =\hspace{2em} \Sum_{k=0}^{d}{a_k~\cdot~{y_1}^k + r_1} \\
		 & \vdots  \\ 	
		\tau(0,y_{m-1})   & =\hspace{2em} \Sum_{k=0}^{d}{a_k~\cdot~{y_{m-1}}^k + r_{m-1}} 
\label{eq:sys_modele_polynom}
\end{systemeq}

Pour cela, nous allons utiliser une régression polynomiale de degré $d+1$ en écrivant le système précédent sous sa forme matricielle. Soient $Y = {(y_j)}_{0 \leqslant j \leqslant m-1}$,  $\Gamma = {(\tau(0,y_j)}_{0 \leqslant j \leqslant m-1}$, $R = (r_j)_{0\leqslant j \leqslant m-1}$ respectivement définis comme la famille des valeurs finales des transitions, la famille des temps de réponse associés et la famille des erreurs absolues de chaque approximation. Soit $A = (a_k)_{0\leqslant k \leqslant d}$ la famille des coefficients paramétrant l'équation du modèle polynomial. \\

AU final, le système \eqref{eq:sys_modele_polynom} peut donc s'écrire sous la forme de l'équation \eqref{eq:eq_vector_modele_polynom}.
\begin{equation}
\sum_{k=0}^{d}{A~\cdot~Y^k} = \Gamma + R
\label{eq:eq_vector_modele_polynom}
\end{equation}

La résolution optimale va permettre de minimiser les $(r_j)_{0\leqslant j \leqslant m-1}$ de chaque équation. Sous forme matricielle, la valeur des $(a_k)_{0\leqslant k \leqslant d}$ optimaux permet de minimiser l'erreur quadratique de la précédente équation, notée $E$ et égale à $R \cdot R$ comme indiqué dans l'équation \eqref{eq:erreur_quadratic}
\begin{eqnarray}
E  & = &  R \cdot R  \nonumber \\
E  & = & (\sum_{k=0}^{d}{A~\cdot~Y^k - \Gamma})^{2} \label{eq:erreur_quadratic} \\
E  & = & (\sum_{k=0}^{d}{A~\cdot~Y^k})^{2}  - 2~(\sum_{k=0}^{d}{A~\cdot~Y^k})~\cdot~\Gamma  + \Gamma^2 \nonumber
\end{eqnarray}

E étant fonction des $(a_k)_{0\leqslant k \leqslant d}$, sa minimisation  se traduit par l'annulation de ses dérivées partielles par rapport à chaque $(a_i)_{0\leqslant i \leqslant d}$. On obtient ainsi un système de $d+1$ équations aux dérivées partielles dont chaque composante peut s'écrire comme l'équation \eqref{eq:deriv_partial}.

\begin{eqnarray}
\dfrac{\partial E}{\partial a_i} & = & 2 {Y}^{i}~\cdot~\sum_{k=0}^{d}{A~Y^k} - 2 Y^{i}~\cdot~\Gamma \label{eq:deriv_partial} \\
\dfrac{\partial E}{\partial a_i}	& = & 0 \nonumber
\end{eqnarray}

On transforme ce système d'équation en une seule équation matricielle. Pour cela, on pose $M = {(m_{i,j})}_{(0 \leqslant i,j \leqslant d)}$ avec $m_{i,j} = X^{i} \cdot Y^{j}$,  $B = {(b_{i})}_{(0 \leqslant i \leqslant d)}$ avec $b_{i} = Y^{i} \cdot \Gamma$ et $A = {(a_{i})}_{(0 \leqslant i \leqslant d)}$. Finalement, les coefficients optimaux de notre fonction polynomiale proviennent de la solution de l'équation $M \cdot A = B$, soit $A = M^{-1} \cdot B$.
