Analyse et modélisation de phénomènes de croissance et mouvement issus de la biologie - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2009

Analysis and modelling of growth and motion phenomenon from biology

Analyse et modélisation de phénomènes de croissance et mouvement issus de la biologie

Résumé

This work is devoted to the analysis of some growth and collective motion models arising in biology or ecology. We especially investigate two categories of models: structured populations dynamics and cross diffusion models. The first part focuses on structured population dynamics. We first consider some linear renewal models with periodic forcing. Such models are characterized by a growth exponent called the Floquet eigenvalue. We compare the properties of this exponent with periodic or stationary forcing. We point out, through a counterexample that no general order exists between those two eigenvalues. Kingman's results on the convexity properties of the spectral radius of nonnegative matrices is here extended to the Floquet eigenvalue. We also investigate the behavior of the Floquet eigenvalue in some degenerate cases where parameters can vanish or blow up. In this part, we also present a justification of the derivation of a partial differential equations system modelling the prion replication dynamics. This model is seen as the approximation of a system of infinite number of ordinary differential equations through weak compactness tools. The proof also allows some hints for improving this models. In the second part we consider cross diffusion models without reaction terms in a bounded domain. The aim is to investigate the stability of the homogeneous steady state. Duality tools used in the framework of reaction diffusion, together with elliptic regularity allow us to derive sufficient a priori estimates to get a global existence theorem in dimension 1,2 for a regularized version of the system. The regularization of the system involves a parameter which value determines the Turing stability or instability of the system. The critical value of this paramater also characterizes a bifurcation point for the steady states.
Cette thèse est consacré à l'analyse de modèles de croissance et de mouvement intervenant en biologie et en écologie. Nous regardons en particulier deux types de modèles: des équations de dynamique de populations structurées et des modèles de diffusion croisée. Dans une première partie consacrée au travail sur les populations structurées, nous étudions d'abord des modèles linéaires de croissance en environnement périodique en temps. Ces modèles sont caractérisés par l'existence d'un exposant de croissance, appelé valeur propre de Floquet, dont nous comparons les propriétés avec celui qui apparaît en environnement stationnaire. Nous mettons en évidence grâce à un contre exemple le fait qu'il n'y a pas de comparaison générale possible entre l'exposant de croissance en milieu périodique et celui associé à un milieu moyenné. Les résultats de convexité de Kingman sur le rayon spectral des matrices positives sont étendus à la valeur propre de Floquet. Nous étudions également le comportement de cette valeur propre dans des cas dégénérés, où certains paramètres peuvent s'annuler ou exploser. Dans cette partie est également exposé une justification de la dérivation d'un modèle d'équations aux dérivées partielles pour la réplication du prion. Ce modèle est vu comme approximation d'un système infini d'équation différentielles ordinaires. Ceci se fait grâce à des résultats de compacité faible et la preuve permet de proposer des pistes pour un modèle plus complet. La deuxième partie est consacrée à l'étude de modèles de diffusion croisée. Nous nous plaçons dans le cas d'un domaine bornée et en absence de termes de réactions. Le but est de questionner la stabilité de l'équilibre homogène. L'application de techniques de dualité utilisées pour les système de réaction-diffusion permettent d'obtenir des bornes qui servent elles-même ensuite, combinées à la régularité elliptique à obtenir l'existence globale pour une version régularisée du système. Ladite régularisation est dépendante d'un paramètre dont les valeurs déterminent la stabilité ou l'instabilité linéaire de l'équilibre homogène. La valeur critique du paramètre de régularisation est d'ailleurs une valeur de bifurcation pour les équilibres.
Fichier principal
Vignette du fichier
These_Lepoutre.pdf (2.37 Mo) Télécharger le fichier
Loading...

Dates et versions

tel-00457561 , version 1 (17-02-2010)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00457561 , version 1

Citer

Thomas Lepoutre. Analyse et modélisation de phénomènes de croissance et mouvement issus de la biologie. Mathématiques [math]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2009. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00457561⟩
774 Consultations
658 Téléchargements

Partager

Gmail Facebook X LinkedIn More