Etude de l'estimation du Maximum de Vraisemblance dans des modèles Markoviens, Semi-Markoviens et Semi-Markoviens Cachés avec Applications - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2008

A study of Maximum Likelihood Estimation in Markov, Semi-Markov and Hidden Semi-Markov Models with Applications

Etude de l'estimation du Maximum de Vraisemblance dans des modèles Markoviens, Semi-Markoviens et Semi-Markoviens Cachés avec Applications

Résumé

I give a summary of the basic contributions of this study. We construct the maximum likelihood estimator (MLE) of the stationnary distribution and of the asymptotic variance of the central limit theorem for additive functionals of ergodic Markov chains and we prove its strong consistency and its asymptotic normality. In the sequel, we consider a non-parametric semi-Markov model. We present the exact MLE of the semi-Markov kernel that governs the evolution of the semi-Markov chain (SMC) and we prove the strong consistency as well as the asymptotic normality of every finite subvector of this estimator by obtaining explicit forms for the asymptotic covariance matrices. The asymptotics were considered for one trajectory of a SMC as well as for a sequence of i.i.d. observations of a SMC censored at a fixed time. We introduce a general hidden semi-Markov model (HSMM) with backward recurrence time dependence. We prove asymptotic properties of the MLE that corresponds to this model. We also deduce explicit expressions for the asymptotic covariance matrices that appear in the CLT for the MLE of some basic characteristics of the SMC. Finally, we propose an improved version of the EM algorithm for HSMM and a stochastic version of this algorithm (SAEM), in order to find the MLE for non-parametric HSMMs. Numerical examples are presented for both algorithms.
Dans ce travail je présente une étude unifiée basée sur l'estimation du maximum de vraisemblance pour des modèles markoviens, semi-markoviens et semi-markoviens cachés. Il s'agit d'une étude théorique des propriétés asymptotiques de l'EMV des modèles mentionnés ainsi que une étude algorithmique. D'abord, nous construisons l'estimateur du maximum de vraisemblance (EMV) de la loi stationnaire et de la variance asymptotique du théorème de la limite centrale (TLC) pour des fonctionnelles additives des chaînes de Markov ergodiques et nous démontrons sa convergence forte et sa normalité asymptotique. Ensuite, nous considérons un modèle semi-markovien non paramétrique. Nous présentons l'EMV exact du noyau semi-markovien qui gouverne l'évolution de la chaîne semi-markovienne (CSM) et démontrons la convergence forte, ainsi que la normalité asymptotique de chaque sous-vecteur fini de cet estimateur en obtenant des formes explicites pour les matrices de covariance asymptotiques. Ceci a été appliqué pour une observation de longue durée d'une seule trajectoire d'une CSM, ainsi que pour une suite des trajectoires i.i.d. d'une CSM censurée à un instant fixe. Nous introduisons un modèle semi-markovien caché (MSMC) général avec dépendance des temps de récurrence en arrière. Nous donnons des propriétés asymptotiques de l'EMV qui correspond à ce modèle. Nous déduisons également des expressions explicites pour les matrices de covariance asymptotiques qui apparaissent dans le TLC pour l'EMV des principales caractéristiques des CSM. Enfin, nous proposons une version améliorée de l'algorithme EM (Estimation-Maximisation) et une version stochastique de cet algorithme (SAEM) afin de trouver l'EMV pour les MSMC non paramétriques. Des exemples numériques sont présentés pour ces deux algorithmes.
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Dates et versions

tel-00472644 , version 1 (12-04-2010)

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  • HAL Id : tel-00472644 , version 1

Citer

Samis Trevezas. Etude de l'estimation du Maximum de Vraisemblance dans des modèles Markoviens, Semi-Markoviens et Semi-Markoviens Cachés avec Applications. Mathématiques [math]. Université de Technologie de Compiègne, 2008. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00472644⟩
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