Domaines extrémaux pour la première valeur propre de l'opérateur de Laplace-Beltrami - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2009

Extremal domains for the first eigenvalue of the Laplace-Beltrami operator

Domaines extrémaux pour la première valeur propre de l'opérateur de Laplace-Beltrami

Résumé

In what it follows, we will consider a compact Riemannian manifold whose dimension is at least 2. Let $\Omega$ be a (smooth enough) domain and $\lambda_\Omega$ the first eigenvalue of the Laplace-Beltrami operator on $\Omega$ with 0 Dirichlet boundary condition. We say that $\Omega$ is extremal (for the first eigenvalue of the Laplace-Beltrami operator) if $\Omega$ is a critical point for the functional $\Omega \rightarrow \lambda_\Omega$ under the contraint volume condition $Vol (\Omega) = c_0$. In other words, $\Omega$ is extremal if, for each smooth family of domains $\{\Omega_t\}_{t \in (-t_0,t_0)}$ whose volume is equal to $c_0$, and $\Omega_0 = \Omega$, the derivative of the function $t \rightarrow \lambda_{\Omega_t}$ in $t=0$ is equal to $0$. We recall that extremal domains are characterized by the fact that the eigenfunction associated to the first eigenvalue of the Laplace-Beltrami operator over the domain with 0 Dirichlet boundary condition, has constant Neumann data at the boundary. This result has been proved by A. El Soufi and S. Ilias in 2007. Extremal domains are then domains over which can be solved an elliptic overdeterminated problem. The main aim of this thesis is the construction of extremal domains for the first eigenvalue of the Laplace-Beltrami operator with 0 Dirichlet boundary condition. We give some existence results of extremal domains in the cases of small volume or volume close to the volume of the manifold. Our results allow also to construct some new nontrivial exemples of extremal domains. The first result we obtained state that if the manifold has a nondegenerated critical point of the scalar curvature then for each small volume there exists an extremal domain for the first eigenvalue of the Laplace-Beltrami operator, and that domain can be constructed by perturbation of a geodesic ball centered in a nondegenerated critical point of the scalar curvature. The methode used to construct is based on the study of the (non linear) operator that to a domain associe the Neumann data of the first eigenfunction of the Laplace-Beltrami operator over the domain. It is a highly nonlinear, non local, elliptic first order operator. In $\mathbb R^n \times \mathbb{R}/\, \mathbb{Z}$, the cylindrical type domain $B_r \times \mathbb{R}/\, \mathbb{Z}$, where $B_r$ is the ball of radius $r >0$ in $\mathbb{R}^{n}$, is an extremal domain. By studying the linearized of the elliptic first order operator definied in the previous problem, and using some bifurcation results, we prove the existence of nontrivial extremal domains in $\mathbb R^{n}\times \mathbb{R}/\, \mathbb{Z}$. Such extremal domains are closed to the cylindrical type domains $B_r \times \mathbb{R}/ \mathbb{Z}$. If they are invariant by rotation with respect to the vertical axe, they are not invariant by vertical translations. This second result gives a counterexemple to a conjecture of Berestycki, Caffarelli and Nirenberg stated in 1997. For big volumes the construction of extremal domains is technically more difficult and shows some new phenomena. In this context, we had to distinguish two cases, according to the fact that the first eigenfunction of the Laplace-Beltrami operator over the manifold is constant or not. The results obtained are the following: If the first eigenfunction of the Laplace-Beltrami operator has a nondegenerated critical point (in particular it is not constant) then for each volume closed to the volume of the manifold there exists an extremal domain obtained by perturbation of the complement of a geodesic ball centered in a nondegenerated critical point of the first eigenfunction. If the first eigenfunction of the Laplace-Beltrami operator is constant, then for each volume closed to the volume of the manifold there exists an extremal domain obtained by perturbation of the complement of a geodesic ball centered in a nondegenerated critical point of the scalar curvature.
Dans tout ce qui suit, nous considérons une variété riemannienne compacte de dimension au moins égale à 2. A tout domaine (suffisamment régulier) $\Omega$, on peut associer la première valeur propre $\lambda_\Omega$ de l'opérateur de Laplace-Beltrami avec condition de Dirichlet au bord. Nous dirons qu'un domaine $\Omega$ est extrémal (sous entendu, pour la première valeur propre de l'opérateur de Laplace-Beltrami) si $\Omega$ est un point critique de la fonctionnelle $\Omega \rightarrow \lambda_\Omega$ sous une contrainte de volume $Vol (\Omega) = c_0$. Autrement dit, $\Omega$ est extrémal si, pour toute famille régulière $\{\Omega_t\}_{t \in (-t_0,t_0)}$ de domaines de volume constant, telle que $\Omega_0 = \Omega$, la dérivée de la fonction $t \rightarrow \lambda_{\Omega_t}$ en $0$ est nulle. Rappelons que les domaines extrémaux sont caractérisés par le fait que la fonction propre, associée à la première valeur propre sur le domaine avec condition de Dirichlet au bord, a une donnée de Neumann constante au bord. Ce résultat a été démontré par A. El Soufi et S. Ilias en 2007. Les domaines extrémaux sont donc des domaines sur lesquels peut être résolu un problème elliptique surdéterminé. L'objectif principal de cette thèse est la construction de domaines extrémaux pour la première valeur propre de l'opérateur de Laplace-Beltrami avec condition de Dirichlet au bord. Nous donnons des résultats d'existence de domaines extrémaux dans le cas de petits volumes ou bien dans le cas de volumes proches du volume de la variété. Nos résultats permettent ainsi de donner de nouveaux exemples non triviaux de domaines extrémaux. Le premier résultat que nous avons obtenu affirme que si une variété admet un point critique non dégénéré de la courbure scalaire, alors pour tout volume petit il existe un domaine extrémal qui peut être construit en perturbant une boule géodésique centrée en ce point critique non dégénéré de la courbure scalaire. La méthode que nous utilisons pour construire ces domaines extrémaux revient à étudier l'opérateur (non linéaire) qui à un domaine associe la donnée de Neumann de la première fonction propre de l'opérateur de Laplace-Beltrami sur le domaine. Il s'agit d'un opérateur (hautement non linéaire), nonlocal, elliptique d'ordre 1. Dans $\mathbb R^n \times \mathbb{R}/\, \mathbb{Z}$, le domaine cylindrique $B_r \times \mathbb{R}/\, \mathbb{Z}$, où $B_r$ est la boule de rayon $r >0$ dans $\mathbb{R}^{n}$, est un domaine extrémal. En étudiant le linéarisé de l'opérateur elliptique du premier ordre défini par le problème précédent et en utilisant un résultat de bifurcation, nous avons démontré l'existence de domaines extrémaux nontriviaux dans $\mathbb R^{n}\times \mathbb{R}/\, \mathbb{Z}$. Ces nouveaux domaines extrémaux sont proches de domaines cylindriques $B_r \times \mathbb{R}/ \mathbb{Z}$. S'ils sont invariants par rotation autour de l'axe vertical, ces domaines ne sont plus invariants par translations verticales. Ce deuxième résultat donne un contre-exemple à une conjecture de Berestycki, Caffarelli et Nirenberg énoncée en 1997. Pour de grands volumes la construction de domaines extrémaux est techniquement plus difficile et fait apparaître des phénomènes nouveaux. Dans ce cadre, nous avons dû distinguer deux cas selon que la première fonction propre $\phi_0$ de l'opérateur de Laplace-Beltrami sur la variété est constante ou non. Les résultats que nous avons obtenus sont les suivants : $\phi_0$ a des points critiques non dégénérés (donc en particulier n'est pas constante), alors pour tout volume assez proche du volume de la variété, il existe un domaine extrémal obtenu en perturbant le complément d'une boule géodésique centrée en un des points critiques non dégénérés de $\phi_0$. Si $\phi_0$ est constante et la variété admet des points critiques non dégénérés de la courbure scalaire, alors pour tout volume assez proche du volume de la variété il existe un domaine extrémal obtenu en perturbant le complément d'une boule géodésique centrée en un des points critiques non dégénérés de la courbure scalaire.
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Dates et versions

tel-00480301 , version 1 (03-05-2010)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00480301 , version 1

Citer

Pieralberto Sicbaldi. Domaines extrémaux pour la première valeur propre de l'opérateur de Laplace-Beltrami. Mathématiques [math]. Université Paris-Est, 2009. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00480301⟩
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