Alternating Sign Matrices, completely Packed Loops and Plane Partitions - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2010

Alternating Sign Matrices, completely Packed Loops and Plane Partitions

Matrices à signes alternants, boucles denses et partitions planes

Résumé

This thesis is devoted to the study of identities which one observes at the interface between integrable models in statistical physics and combinatorics. The story begins with Mills, Robbins and Rumsey studying the Alternating Sign Matrices (ASM). In 1982, they came out with a compact enumeration formula. When looking for a proof of such formula they discovered the existence of other objects counted by the same formula: Totally Symmetric Self-Complementary Plane Partitions (TSSCPP). It was only some years later that Zeilberger was able to prove this equality, proving that both objects are counted by the same formula. At the same year, Kuperberg, using quantum integrability (a concept coming from statistical physics), gave a simpler and more elegant proof. In 2001, Razumov and Stroganov conjectured one intriguing relation between ASM and the ground state of the XXZ spin model (with Delta=-1/2), also integrable. This conjecture was proved by Cantini and Sportiello in 2010. The principal goal of this manuscript is to understand the role of integrability in this story, notably, the role played by the quantum Knizhnik-Zamolodchikov equation. Using this equation, we prove some combinatorial conjectures. We prove a refined version of the equality between the number of ASM and TSSCPP conjectured in 1986 by Mills, Robbins and Rumsey. We prove some conjectured properties of the components of the XXZ groundstate. Finally we present new conjectures concerning the groundstate.
Cette thèse est consacrée à l'étude d'identités qu'on observe à l'interface entre le domaine des modèles intégrables en physique statistique et la combinatoire. L'histoire a commencé quand Mills, Robbins et Rumsey étudiaient des Matrices à Signes Alternants (ASM). En 1982, ils proposèrent une formule d'énumération. Pendant qu'ils cherchaient une preuve de cette formule ils découvrirent l'existence d'autres objets comptés par la même formule : les Partitions Planes Totalement Symétriques Auto-Complémentaires (TSSCPP). C'est seulement quelques années plus tard que Zeilberger fut capable de prouver cette égalité, prouvant que les deux objets sont comptés par la même formule. La même année, Kuperberg utilise l'intégrabilité quantique (notion venue de la physique statistique) pour donner une preuve plus simple. En 2001, Razumov et Stroganov conjecturèrent une intrigante relation entre les ASM et l'état fondamental du modèle de spins XXZ (pour Delta=-1/2), lui aussi intégrable. Cette conjecture a été démontrée en 2010 par Cantini et Sportiello. L'objectif principal de ce manuscrit est de comprendre le rôle de l'intégrabilité dans cette histoire, notamment le rôle joué par l'équation de Knizhnik-Zamolodchikov quantique. Grâce à cette équation nous avons été capables de démontrer plusieurs conjectures combinatoires, dont une version raffinée de l'équalité entre le nombre des TSSCPP et des ASM proposée en 1986 par Mills, Robbins et Rumsey et certains propriétés des composantes du vecteur fondamental du modèle XXZ. Est présentée aussi une série de nouvelles conjectures concernant l'état fondamental.
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Dates et versions

tel-00521884 , version 1 (28-09-2010)
tel-00521884 , version 2 (17-11-2010)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00521884 , version 2

Citer

Tiago Fonseca. Alternating Sign Matrices, completely Packed Loops and Plane Partitions. Mathematical Physics [math-ph]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2010. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00521884v2⟩
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