Influence des perturbations géométriques de domaines sur les solutions d'équations aux dérivées partielles - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2010

Influence of Geometric Perturbations of Domains on the Solutions to Partial Differential Equations

Influence des perturbations géométriques de domaines sur les solutions d'équations aux dérivées partielles

Matthieu Bonnivard
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 888941

Résumé

In this thesis, we are interested in the influence of geometric perturbations of the boundaries of domains on the solutions to partial differential equations with vector values, by a geometric effect of the perturbations that is called the rugosity effect. This effect consists in transforming non penetration conditions imposed on a sequence of oscillating boundaries, that converges in a certain geometric sense to a smooth boundary, into a so-called friction-driven boundary condition, which was introduced by Bucur, Feireisl and Necasova in 2009. We characterize the rugosity effect produced by different types of boundaries, periodic or not, relying on the use of Young measures and capacitary measures, that allow us to understand the oscillations of the normal vectors by Gamma-convergence tools. We prove the stability of the trajectory of a deformable self-propelled solid, at low Reynolds number, with respect to the deformation vector field that is imposed on the solid, and propose a numerical method to solve the model in dimension 2. We study the well-posedness of the problem of the drag associated to a solid with friction-driven boundary conditions. Using the rugosity effect, we set the problem of drag minimization in terms of the micro-structure of the boundary, and prove that this problem admits a solution. We illustrate the theoretical results by numerical examples and carry out a numerical optimization algorithm.
Nous étudions l'influence des perturbations géométriques des parois d'un domaine sur les solutions d'équations aux dérivées partielles à valeurs vectorielles, à travers un effet géométrique appelé l'effet de rugosité. Cet effet consiste à transformer des conditions de non pénétration imposées sur une suite de parois oscillantes convergeant vers une paroi lisse, en une condition qualifiée de glissement dirigé avec friction, ou friction-driven, dont une formulation générale a été obtenue en 2009 par Bucur, Feireisl et Necasova. Nous caractérisons l'effet de rugosité produit par des parois périodiques ou cristallines à l'aide des mesures de Young et de mesures capacitaires permettant de comprendre l'effet des oscillations des vecteurs normaux. D'autre part, nous démontrons la stabilité de la trajectoire d'un solide déformable à faible nombre de Reynolds, par rapport aux déformations qu'on lui impose, et proposons un schéma numérique de résolution du modèle. C'est une première étape vers la compréhension d'un effet de rugosité dynamique produit par une famille continue de micro-déformations du bord. Enfin, nous considérons le problème de la traînée d'un solide immergé dans un fluide visqueux, avec des conditions friction-driven sur la paroi solide. Après avoir montré que le problème est bien posé, nous décrivons le problème de minimisation de la traînée en termes de micro-structure de la paroi associée à la condition friction-driven. À l'aide d'outils de gamma-convergence, nous montrons que ce problème de micro-optimisation de forme possède une solution. Nous validons ces résultats par des exemples numériques et mettons en oeuvre une méthode numérique d'optimisation.
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Dates et versions

tel-00555121 , version 1 (12-01-2011)
tel-00555121 , version 2 (08-06-2011)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00555121 , version 2

Citer

Matthieu Bonnivard. Influence des perturbations géométriques de domaines sur les solutions d'équations aux dérivées partielles. Mathématiques [math]. Université de Grenoble, 2010. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00555121v2⟩
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