Propriétés qualitatives de solutions de quelques équations paraboliques semi-linéaires. - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Hdr Année : 2010

Qualitative properties of solutions of some semi-linear parabolic equations

Propriétés qualitatives de solutions de quelques équations paraboliques semi-linéaires.

Lorenzo Brandolese
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 832858

Résumé

This memoir deals with Partial Diefferential Equations, especially evolution nonlinear equations of parabolic type. The models I have been studying mainly arise from Fluid Mechanics and Geophysics, or from Mathematical Biology and Probability theory. Much of my work is devoted to a better understanding of the asymptotic properties of the solutions: the study of their behavior for large time and in the far-field under different perspectives (energy dissipation, time decay or growth, asymptotic proles, selfsimilarity, spatial spreading, localization issues. . . ), as well as the asymptotic analysis when a physical parameter inside the models goes to zero, represent my most important contribution. It should be stressed that the Navier{Stokes equations represent an outstanding challenge for all these issues. Not surprisingly, these equations take an important place in my work. A couple of my papers [12, 13], deal with functional analysis (in particular, with the theory of multipliers in Sobolev spaces) or harmonic analysis and approximation theory, in connection with wavelet bases. These two contributions to Analysis are quite independent from the rest of my scientic production, though they are not completely unrelated. Indeed harmonic analysis is present throughout my work: the classical Fourier analysis (for example, the Fourier splitting method) often yields to sharp results on the long time behavior. The Littlewood-Paley analysis is a powerful tool for obtaining existence results. Moreover, the use of a large panel of function spaces (some of them considered as somewhat exhotic in the PDE community until recently) provides valuable information on the solutions. For example, Besov spaces with negative regularity can be used to measure their oscillating character, weighed spaces tell us about their localization; Morrey and Lorentz spaces are a good setting where to study selfsimilarity, etc. In addition, many physical models have a non-local nature: a perturbation of a quantity in some region of the space aects the whole system even far from that region. We usually attack these models by recasting the initial PDE as a pseudodifferential equation. The theory of singular integrals, well-suited for the study of non-local phenomena, will also play an important role.
Ce mémoire constitue un travail de synthèse de nos travaux dans le domaine des équations aux dérivées partielles, notamment les équations non-linéaires de type parabolique. Les modèles traités ici sont issus principalement de la mécanique des fluides, de la géophysique, ou des bio-mathématiques ; dans d'autres cas les motivations viennent de la théorie des probabilités. On touchera ici aux questions centrales de l'existence, de l'unicité, ou de l'explosion en temps fini des solutions, qui occupent une place importante dans nos travaux, ainsi qu'à leur comportement asymptotique. C'est précisément l'étude de propriétés fines sur le comportement en temps long, ou sur le comportement à l'infini en variable d'espace sous de différentes perspectives (dissipation de l'énergie, croissance ou décroissance temporelle, profils asymptotiques, autosimilarité, diffusion spatiale, questions de localisation, etc.) qui représente notre contribution la plus importante. Les équations de Navier–Stokes constituent un défi remarquable pour toutes ces questions : en effet, il est rare que des techniques ou idées standards apportent des avancées vraiment significatives dans ce modèle. C'est pourquoi ces équations occupent une place privilégiée dans nos travaux. Le premier chapitre est donc consacré au système de Navier–Stokes, et le deuxième à d'autres modèles de la mécanique des fluides incompressibles (magnéto–hydrodynamique, système de Boussinesq, etc.) qui sont des généralisations assez naturelles de celui-ci. On insistera notamment sur l'étude de propriétés qualitatives des solutions qui sont spécifiques à chacun de ces modèles. Dans le troisième chapitre nous abordons le problème de la stabilité des écoulement stationnaires. Le quatrième chapitre est consacré à l'étude de l'autosimilarité : nous aurons alors l'opportunité de revenir sur les équations de Navier–Stokes, mais aussi d'introduire d'autres systèmes, et d'étudier une équation non-locale de convection avec diffusion non-standard. Dans le cinquième chapitre nous nous intéressons à deux modèles bien connus en chimiotactisme : nous y présentons nos travaux sur la convergence du système parabolique-parabolique de Keller–Segel vers le système parabolique–elliptique, ainsi qu'un théorème d'explosion. Dans le dernier chapitre nous illustrons les résultats de deux articles, dans lesquels nous apportons une contribution à l'analyse fonctionnelle et harmonique, sur des questions liées à la théorie des multiplicateurs dans les espaces de Sobolev, à la théorie de l'approximation et aux bases d'ondelettes. Ces deux contributions à l'Analyse, a priori assez indépendantes du reste de notre production, n'en sont pas complètement déconnectées. En effet de différentes techniques d'analyse harmonique apparaissent souvent dans nos démonstrations : l'analyse de Fourier classique d'abord (la méthode de Fourier splitting par exemple), qui conduit à des résultats souvent optimaux dans l'étude du comportement en temps long des solutions ; l'analyse de Littlewood–Paley est un outil puissant pour prouver des résultats d'existence ou d'unicité ; les espaces de Besov permettent non seulement de mesurer avec précision la régularité des solutions, mais ils peuvent également nous renseigner sur leur caractère oscillant. Nous avons aussi été amenés à développer certains aspects de la théorie des espaces à poids afin de résoudre un problème de localisation en magnéto-hydrodynamique. De plus, la plupart des modèles que nous avons étudiés ont une nature non locale : la perturbation d'une quantité dans une région de l'espace a des répercussions importantes sur le comportement du système entier, même à de grandes distances. Nous abordons l'étude de ces modèles en les réécrivant sous une forme pseudo-différentielle. Les applications de la théorie des intégrales singulières sont, alors, souvent décisives dans notre travail. Les sections 1.1.1 et 1.1.2 présentent des résultats directement issus de la thèse. Le chapitre 6 est lui aussi étroitement lié à la thèse, bien que les théorèmes qu'ils y sont présentés aient été ré-élaborés assez en profondeur. Le reste du chapitre 1 et les chapitres 2 à 5 contiennent nos résultats plus récents. Ces chapitres se terminent par une section illustrant des perspectives, ainsi que quelques pistes pour des recherches futures.
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Dates et versions

tel-00575646 , version 1 (10-03-2011)

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  • HAL Id : tel-00575646 , version 1

Citer

Lorenzo Brandolese. Propriétés qualitatives de solutions de quelques équations paraboliques semi-linéaires.. Mathématiques [math]. Université Claude Bernard - Lyon I, 2010. ⟨tel-00575646⟩
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