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Thèse Année : 2006

Projectively normal complete symmetric varieties and Fano complete symmetric varieties

Alessandro Ruzzi
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 895306

Résumé

This thesis is subdivided in two parts. In the first one is studied the projective normality of symmetric varieties, while in the second one are proved some partial results toward the classification of Fano symmetric varieties (i.e. with ample anticanonical bundle). In [R. Chirivì, A. Maffei, Projective normality of complete symmetric varieties, Duke Math. J. 122 (1) (2004) 93–123] Chirivì and Maffei have proved that the surjectivity of the multiplication of sections of any two line bundles generated by global sections on a wonderful symmetric variety. We prove two criterions that allow us to reduce the same problem on a smooth complete toroidal symmetric variety to the analogous problem on the corresponding complete (resp. open) toric variety. We have also found some families of complete toroidal symmetric varieties, in particular those of rank 2, such that the product of sections of any ample linear bundle is surjective. In the second part of my thesis, I have first classified the Fano symmetric varieties of arbitrary rank which are obtainable from a wonderful variety by a sequence of blow-ups along closed orbits. When the rank is at most 3, I have proved more precise results. The symmetric projective varieties of rank one are all smooth and wonderful by a classic result of Akhiezer. I have classified the smooth projective toroidal (adjoint) symmetric varieties of rank 2 whose anticanonical bundle is ample, resp. globally generated. Moreover, I have classified the Fano (adjoint) symmetric varieties of rank 3 obtainable from the wonderful variety by a sequence of blow-ups along G-stable varieties. One can remark that any complete symmetric variety is dominated by a variety obtainable from a wonderful variety by a sequence of blow-ups along G-stable subvarieties of codimension 2.
Cette thèse est subdivisée en deux parties. Dans la premier, je étudie la normalité projective de variétés symétriques, tandis que dans la deuxième je prouve des résultats partiels sur la classification de variétés symétriques de Fano (i.e. avec fibré anti-canonique ample). Dans [R. Chirivì, A. Maffei, Projective normality of complete symmetric varieties, Duke Math. J. 122 (1) (2004) 93-123], les authors ont prouvé la surjectivité du produit de sections de deux fibrés en droites globalement engendrés sur le plongement magnifique d'un espace symétrique (adjoint). Donné deux fibrés en droites amples sur une variété symétrique toroïdale compacte et lisse, je prouve deux critères pour la surjectivité du produit de sections. Grace à tels critères on se peut réduire à étudier le même problème sur la variété torique compacte (respectivement ouverte) associé. De plus, j'ai trouvé des familles de variétés symétriques toroïdales complètes, en particulier lesquelles avec rang 2, telles que le produit de sections de n'import quel fibré en droites ample est surjectif. Dans la deuxième part de ma thèse, j'ai d'abord classifié les variétés symétriques de Fano avec rang arbitraire et que l'on peut obtenir à partir du plongement magnifique par une succession des éclatements le long d'orbites fermées. Quand le rang est au plus trois, j'ai obtenu des résultats plus précis. Les variétés symétriques projectives avec rang un sont tous lisse et magnifique par un résultat classique dû à Akhiezer. J'ai classifié les variétés symétriques toroïdales projectives lisses de rang 2 dont le fibré anti-canonique est ample, respectivement globalement engendré. De plus, j'ai classifié les variétés symétriques de Fano avec rang 3 que l'on peut obtenir à partir du plongement magnifique par une succession des éclatements des sous-variétés G-stables. On peut observer que n'import quelle variété symétrique complete est dominé par une variété que l'on peut obtenir à partir du plongement magnifique par une succession des éclatements des sous-variétés G-stables de codimension 2.
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Dates et versions

tel-00575974 , version 1 (11-03-2011)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00575974 , version 1

Citer

Alessandro Ruzzi. Projectively normal complete symmetric varieties and Fano complete symmetric varieties. Mathematics [math]. Università degli studi di Roma I, 2006. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00575974⟩
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