Some control problems for partial differential equations: spectral inequalities, coupled systems and singular limits
Quelques problèmes de contrôle d'équations aux dérivées partielles : inégalités spectrales, systèmes couplés et limites singulières
Résumé
In this work, we are concerned with the controllability of different partial differential equations. The first part is devoted to the Lebeau-Robbiano method for the control of linear parabolic equations. We first extend this method to some non-selfadjoint elliptic operators, proving a spectral inequality together with the controllability of the associated parabolic equation. Then, we prove these two properties for a transmission model across an interface, where the transmission conditions involve a tangential diffusion. The proof relies on a Carleman estimate which is uniform with respect to the small parameter representing the thickness of the interface. In the second part, we analyse some linear systems of partial differential equations, coupled by zero order terms. After having studied the stabilization of two wave equations, only one of them being damped, we prove the controllability in large time of a similar system with one control force only, under optimal geometric conditions on the control and the coupling regions. Using microlocal analysis methods, we moreover obtain the controllability of cascade systems of wave equations, together with the exact minimal time needed to control. These results imply in particular the controllability of the associated parabolic systems, in some situations where the control and the coupling regions are disjoint. Finally, in a third part, we study the uniform controllability of viscous perturbations of scalar conservation laws in the vanishing viscosity limit. We prove the exact global controllability to constant states by means of controls that are uniformly bounded when the viscosity goes to zero.
Dans cette thèse, on s'intéresse à la contrôlabilité de différentes équations aux dérivées partielles. La première partie est consacrée à la méthode de Lebeau-Robbiano pour le contrôle des équations paraboliques linéaires. On étend tout d'abord cette méthode à des opérateurs elliptiques non-autoadjoints, montrant une inégalité spectrale ainsi que la contrôlabilité de l'équation parabolique associée. On prouve ensuite ces deux propriétés pour un modèle de transmission à travers une interface, pour lequel la condition de transmission implique une diffusion tangentielle. La preuve repose sur une inégalité de Carleman, uniforme par rapport au petit paramètre représentant l'épaisseur de l'interface. Dans la deuxième partie, on analyse les propriétés de certains systèmes d'équations aux dérivées partielles linéaires couplées par des termes d'ordre zéro. Après avoir étudié la stabilisation de deux équations d'ondes, dont une seulement est amortie, on montre la contrôlabilité en temps grand d'un système similaire au moyen d'un seul contrôle, sous des conditions géométriques optimales sur les zones de contrôle et de couplage. Par des méthodes d'analyse microlocale, on obtient de plus la contrôlabilité de systèmes d'ondes en cascade, ainsi que l'expression exacte du temps minimal de contrôle. On déduit de ces résultats la contrôlabilité des systèmes paraboliques associés, dans des situations où les zones de contrôle et de couplage sont disjointes. Enfin, dans la troisième partie, on étudie la contrôlabilité uniforme de perturbations visqueuses de lois de conservation scalaires, dans la limite de viscosité évanescente. On montre la contrôlabilité exacte globale aux états constants au moyen de contrôles uniformément bornés lorsque la viscosité tend vers zéro.
Mots clés
controllability
stabilization
spectral inequalities
parabolic equations
wave equation
coupled systems
transmission problem
scalar conservation laws
vanishing viscosity
non-selfadjoint operators
elliptic operators
Carleman estimates
spectral theory
microlocal and semiclassical analysis
opérateurs non-autoadjoints
opérateurs elliptiques
inégalités de Carleman
théorie spectrale
analyse microlocale et semiclassique
contrôlabilité
stabilisation
inégalités spectrales
équations paraboliques
équation des ondes
systèmes couplés
problème de transmission
lois de conservation scalaires
viscosité évanescente
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