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Thèse Année : 2011

Calcul d'Itô étendu

Extended Ito calculus

Résumé

Our main results are extensions of the classical stochastic calculus. For a Markov process (X_t) , the problem is to give the explicit decomposition as a Dirichlet process of F (Xt , t) under minimal conditions on F , real-valued deterministic function. We consider the four following cases. In the first case X is a real-valued Lévy process with a Brownian component. In the second case, X is a symmetric Lévy process without Brownian component, but admitting a local time process as a Markov process. In the third case, X is a general symmetric Markov process without condition of existence of local times, but F (x, t) does not depend on t. In the fourth case, we suppress the assumption of symmetry of the third case. In each of the first three cases, we obtain an Itô formula under the only condition that the function F admits locally bounded first order Radon-Nicodym derivatives. Note that under the assumption that X is a general semimartingale, the classical Itˆ formula requires C^2 functions. This is what we have to assume in the fourth case. First case excepted, each of the obtained Itˆ formulas requires the construction of a new stochastic integral with respect to random processes which are not semimartingales.
Nos différents résultats consistent principalement à établir des extensions du calcul stochastique classique. Pour (X_t) processus de Markov, il s'agissait à l'origine de donner dans les quatre cas suivants, la décomposition explicite de F(X_t,t) en tant que processus de Dirichlet, sous des conditions minimum sur F fonction déterministe à valeurs réelles. Dans le premier cas, X est un processus de Lévy réel avec composante brownienne. Dans le deuxième cas X est un processus de Lévy symétrique sans composante brownienne mais admettant des temps locaux en tant que processus de Markov. Dans le troisième cas, X est un processus de Markov symétrique général sans condition d'existence de temps locaux mais F(x,t) ne dépend pas de t. Dans le quatrième cas, nous supprimons l'hypothèse de symétrie du troisième cas. Dans chacun des trois premiers cas, on obtient une formule d'Itô à la seule condition que la fonction F admette des dérivées de Radon-Nikodym d'ordre 1 localement bornées. On rappelle que dans l'hypothèse où X est une semi-martingale, la formule d'Itô classique nécessite que F soit C^2. C'est l'hypothèse que nous devons prendre dans le quatrième cas. Le premier cas excepté, chacune des formules d'Itô obtenues s'appuie sur la construction de nouvelles intégrales stochastiques par rapport à des processus aléatoires qui ne sont pas des semi-martingales.
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Dates et versions

tel-00627558 , version 1 (29-09-2011)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00627558 , version 1

Citer

Alexander Walsh. Calcul d'Itô étendu. Mathematics [math]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2011. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00627558⟩
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