Conformal gauge of compact metric spaces
Jauge conforme des espaces métriques compacts
Résumé
In this thesis we study the Ahlfors regular conformal dimension ($\dim_{AR}X$) of a metric space $X$. This is a quasisymmetric numerical invariant, introduced by P.\,Pansu, which was used to classify negatively curved homogeneous spaces up to quasi-isometries. It plays nowadays an important role in geometric group theory and in conformal dynamics. Using a sequence of finite coverings of a compact metric space $(X,d)$, we construct distances in the (Ahlfors regular) conformal gauge of controlled dimension. We obtain in this way a combinatorial characterization (up to bi-Lipschitz homeomorphisms) of all the metrics of the gauge. We show how to compute $\dim_{AR}X$ using the critical exponent $Q_N$ associated to the combinatorial modulus. As a consequence of the equality $\dim_{AR}X=Q_N$, we obtain a general criterion ensuring dimension $1$. The conditions are stated in terms of local cut points of $X$. Finally, we give applications of these results to the boundaries of Gromov hyperbolic groups and to the Julia sets of semi-hyperbolic rational maps.
L'objet principal de cette thèse est l'étude de la dimension conforme Ahlfors régulière ($\dim_{AR}X$) d'un espace métrique $X$. C'est un invariant numérique par quasisymétrie, introduit par P.\,Pansu, permettant la classification à quasi-isométrie près des espaces homogénes de courbure négative. Elle joue actuellement un rôle important en théorie géométrique des groupes et en dynamique conforme. A partir d'une suite de recouvrements d'un espace métrique compact $\left(X,d\right)$, on construit des distances de dimension contrôlée appartenant à la jauge conforme (Ahlfors régulière). On peut ainsi caractériser toutes les métriques de la jauge á homéomorphismes bi-Lipschitz prés. On montre comment calculer $\dim_{AR}X$ á partir de modules combinatoires en considérant un exposant critique $Q_N$. Comme conséquence de l'égalité $\dim_{AR}X=Q_N$, on obtient un critère général de dimension $1$. Les conditions sont données en termes de points de coupure locale de $X$. On donne par ailleurs des applications de ces résultats aux bords des groupes hyperboliques et aux ensembles de Julia des fractions rationnelles semihyperboliques.
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