Continuity of representations of topological groups
Continuité des représentations de groupes topologiques
Résumé
Let L(X) be the algebra of all bounded operators on a Banach space X, and let t:G⇾L(X) be a representation of a topological group G in X. For every element g in the group G, we consider the projection on the unit circle T of the spectrum s(t(g)) of the invertible operator t(g), so we set s1(t(g)):={l/|l|, l∊s(t(g))}, and we consider the set S of all elements g in the group G such that s1(t(g)) does not contain any regular polygon of T, so we set S:={g∊ G / ∄ P∊P' / P ⊆ s1(t(g))}, where P' denotes the set of regular polygons of T (we call regular polygon in T the image by a rotation of a closed subgroup of T different from {1}). In the first part, we set out the principal results and notations subsequently used. When G is a locally compact abelian group, we prove in the second part that t is uniformly continuous if and only if t is measurable (L(X) is equipped with the norm topology) and if more G is second countable and t strongly continuous, we state in the third part that t is uniformly continuous if and only if S is non meager. In the same way, we show that t is uniformly continuous if and only if S is a non null set for the Haar measure on G. When G is a locally compact group and t a unitary representation of G in a Hilbert space H, we show also in the second part that t is uniformly continuous if and only if t is measurable, and if more G is metrizable and t strongly continuous, we prove in the third part that t is uniformly continuous if and only if {g∊ G / 0∉ Conv(s(t(g)))} is non meager, where Conv(S) denotes the convex hull of any subset S in a vector space.
Soit L(X) l'algèbre des opérateurs bornés sur un espace de Banach X et soit t:G⇾L(X) une représentation fortement continue d'un groupe topologique G dans X. Pour chaque élément g dans le groupe G, on considère la projection sur le cercle unité T du spectre s(t(g)) de l'opérateur inversible t(g), on note donc s1(t(g)):={l/|l|, l∊s(t(g))}, et on considère l'ensemble S de tous les éléments g du groupe G tels que s1(t(g)) ne contienne aucun polygone régulier, on note donc S:={g∊ G / ∄ P∊P'/ P ⊆ s1(t(g))}, où P' désigne l'ensemble des polygones réguliers de T (nous appelons polygone régulier de T l'image par une rotation d'un sous-groupe fermé de T autre que {1}). Dans la première partie, nous présentons les principaux résultats et notations utilisés par la suite. Lorsque G est un groupe abélien localement compact, nous prouvons dans la deuxième partie que t est uniformément continue si et seulement si t est mesurable (L(X) est muni de la topologie de la norme) et si de plus G est à base de topologie dénombrable et t fortement continue, nous montrons dans la troisième partie que t est uniformément continue si et seulement si S n'est pas maigre. De même, nous montrons que t est uniformément continue si et seulement si S n'est pas négligeable pour la mesure de Haar sur G. Lorsque G est un groupe localement compact et t une représentation unitaire de G dans un espace de Hilbert H, nous montrons également dans la deuxième partie que t est uniformément continue si et seulement si t est mesurable, et si de plus G est métrisable et t fortement continue, nous prouvons dans la troisième partie que t est uniformément continue si et seulement si {g∊ G / 0∉ Conv(s(t(g)))} n'est pas maigre, où Conv(S) désigne l'enveloppe convexe d'une partie quelconque S dans un espace vectoriel.