\chapterstar{Introduction}

\selectlanguage{francais}
\section*{Version française}

L'objet central de cette thèse est l'étude des modules de quantification par déformation ou DQ-modules. Ils ont été introduits par Kontsevich dans \cite{Kos} et un travail de fondation a été effectué par Kashiwara et Schapira dans \cite{KS3}. Les DQ-modules sont des modules sur un champ de DQ-algébroïdes. Ces champs sont localement équivalents à des star-algèbres, c'est-à-dire à des quantifications par déformation du faisceau des fonctions holomorphes d'une variété de Poisson complexe. 

Cette thèse explore dans quelle mesure certains théorèmes de géométrie algébrique s'étendent aux DQ-modules et donc à un cadre non commutatif. On s'est intéressé en particulier au théorème de Bondal-Van den Bergh concernant les générateurs compacts de la catégorie dérivée des faisceaux quasi-cohérents et à son corollaire affirmant qu'une variété algébrique est dg affine (voir \cite{BVdB}), à un théorème de Lefschetz dû à V. Lunts (voir \cite{Lunts}) et finalement aux transformations intégrales.

Les notions de nature homologique ou catégorique intervenant en géométrie algébrique peuvent en général être transportées dans un cadre non commutatif. Notre étude s'appuie donc sur l'analyse de certaines structures catégoriques apparaissant dans la théorie des DQ-modules.

Un but, hors de portée à l'heure actuelle, serait d'obtenir un théorème de reconstruction dans l'esprit de celui de Bondal-Orlov pour les variétés symplectiques complexes, à partir de leurs catégories dérivées de DQ-modules cohérents.

La thèse présentée ici comporte quatre chapitres et un appendice traitant des champs en algébroïdes. \`{A} l'exception du premier chapitre, ils concernent tous de façon directe la théorie des DQ-modules. Décrivons brièvement leur contenu.

\subsection*{A Riemann-Roch Theorem for dg Algebras}

Dans ce chapitre, motivé par la version du théorème de Riemann-Roch pour les algèbres différentielles graduées dû à Shklyarov (\cite{shklyarov}) ainsi que par un résultat similaire obtenu par Kashiwara-Schapira dans le cadre des DQ-modules (\cite[ch.4, §3]{KS3}), nous obtenons un théorème de type Riemann-Roch pour les algèbres différentielles graduées faisant intervenir des classes à valeurs dans l'homologie de Hochschild associée à des paires $(M,f)$ où M est un $A$-module et $f$ un endomorphisme de $M$.

Le but de ce chapitre, basé sur l'article \cite{RRdg}, est d'extraire certains des aspects algébriques de l'approche de Kashiwara-Schapira, afin d'éventuellement fournir un point de vue plus homogène pour attaquer certains théorèmes d'indice. 

Nous obtenons une légère généralisation du théorème de Shklyarov. La différence majeure entre notre approche et la sienne est que nous travaillons directement avec l'homologie de Hochschild de l'algèbre différentielle graduée $A$ et non pas avec la définition de l'homologie de Hochschild via la catégorie des complexes parfaits. Finalement, le résultat principal de ce chapitre est

\begin{theoetoilefr}
Soit $A$ une algèbre différentielle graduée propre et homologiquement lisse, soit $M \in \Dper(A), \, f \in \Hom_A(M,M)$ et $N \in \Dper(\op{A}), \, g \in \Hom_{\op{A}}(N,N)$.

Alors

\begin{equation*}
\hh_k(N \Lte_{A} M, g \Lte_{A} f)=  \hh_{\op{A}}(N,g) \cup \hh_A(M,f),
\end{equation*}
où $\cup$ est un accouplement entre groupes d'homologies de Hochschild et où $\hh_A(M,f)$ est la classe de Hochschild de la paire $(M,f)$ à valeurs dans l'homologie de Hochschild de $A$.
\end{theoetoilefr}

\subsection*{DG Affinity of DQ-modules} 

Dans ce chapitre qui est extrait de l'article \cite{dgaff}, nous donnons un analogue non-commutatif à un célèbre résultat de Bondal et Van den Bergh affirmant que, sur un schéma quasi-séparé et quasi-compact, la catégorie $\Der_{\qcoh}(\cO_X)$ est engendrée par un générateur compact et que les objets compacts de $\Der_{\qcoh}(\cO_X)$ sont les complexes parfaits. Un corollaire de ce résultat est que la catégorie $\Der_{\qcoh}(\cO_X)$ est équivalente à la catégorie dérivée d'une algèbre différentielle graduée convenable.

Il apparaît assez rapidement que la notion d'objet quasi-cohérent n'est pas adaptée à la théorie des DQ-modules algébriques. Une première difficulté consiste donc à trouver une catégorie triangulée qui puisse remplace la catégorie $\Der_{\qcoh}(\cO_X)$. Un ingrédient essentiel est la notion de complétude cohomologique due à Kashiwara-Schapira. Nous introduisons donc la notion d'objet cohomologiquement complet à gradué quasi-cohérent. Ces objets sont appelés qcc modules et forment une catégorie triangulée $\Der_\qcc(\cA_X)$ (où $\cA_X$ est un DQ-algébroïde) qui peut être considérée comme la déformation de $\Der_{\qcoh}(\cO_X)$ lorsque l'on déforme $\cO_X$ en $\cA_X$. Une seconde difficulté réside dans la cocomplétude de la catégorie des qcc. En effet $\Der_\qcc(\cA_X)$ est cocomplète non pas pour la somme directe usuelle de la catégorie des DQ-modules mais pour la complétion cohomologique de cette somme directe.

Deux foncteurs jouent un rôle fondamental dans la théorie des DQ-modules. Les foncteurs 
\begin{align*}
\iota_g:\Der(\cO_X) \to \Der(\cA_X) && \gr_\hbar:\Der(\cA_X) \to \Der(\cO_X)\\
 \cM \mapsto _A \!\cO_X \Lte_{\cO_X} \cM                                    &&\cM \mapsto \cO_{XA} \Lte_{\cA_X} \cM.
\end{align*}

L'observation essentielle est qu'un générateur compact de la catégorie $\Der_{\qcoh}(\cO_X)$ va fournir un générateur compact de la catégorie des qcc.  En effet, on a
\begin{propetoilefr}
Si $\mathcal{G}$ est un générateur compact de $\Der_{\qcoh}(\cO_X)$ alors $\iota_g(\mathcal{G})$ est un générateur compact de $\Der_{\qcc}(\cA_X)$.
\end{propetoilefr}
L'existence d'un générateur compact de $\Der_{\qcoh}(\cO_X)$ étant garantie par \cite{BVdB}.
En nous appuyant sur un résultat de Ravenel et Neeman (\cite{Rav} et \cite{Nee_comp}), nous caractérisons ensuite les objets compacts de $\Der_{\qcc}(\cA_X)$.

\begin{theoetoilefr}
Un object $\cM$ de $\Der_{\qcc}(\cA_X)$ est compact si et seulement si $\cM \in \Der_{\coh}^b(\cA_X)$ et $\cA_X^{loc} \otimes_{\cA_X} \cM=0$. 
\end{theoetoilefr}

Finalement, en utilisant un résultat dû à Keller \cite{Keller_deriving}, on déduit de tout ceci

\begin{theoetoilefr}
Soit $X$ une variété complexe lisse, munie d'un DQ-algebroïde $\cA_X$. Alors $\Der_{\qcc}(\cA_X)$ est équivalente à $\Der(\Lambda)$ 
où $\Lambda$ est une algèbre différentielle graduée convenable dont la cohomologie est bornée. 
\end{theoetoilefr}

Enfin, nous étudions la catégorie des qcc lorsque l'on suppose la variété affine.  On montre alors que l'équivalence de catégories triangulées entre $\Der^{+}_{\qcoh}(\cO_X)$ et $\Der^{+}(\cO_X(X))$ se relève en une équivalence entre $\Der^{+}_{\qcc}(\cA_X)$ et la catégorie triangulée $\Der^{+}_{cc}(\cA_X(X))$ des $\cA_X(X)$-modules cohomologiquement complets.

\begin{theoetoilefr}
Soit X une variété algébrique affine lisse. On pose $A=\Gamma(X,\cA_X)$ et $B=\Gamma(X,\cO_X)$. 

Les foncteurs 
\begin{equation*} 
\Phi: \Der_{\qcc}^+(\cA_X) \to \Der_{\cc}^{+}(A), \; \Phi(\mathcal{M})=\Rg(X,\mathcal{M}) 
\end{equation*}
et
\begin{equation*}
\Psi:\Der_{\cc}^{+}(A) \to \Der_{\qcc}^+(\cA_X), \Psi(M)=(\cA_X \otimes_{A_X} a_X ^{-1}M)^{\cc}
\end{equation*}
sont des équivalences de catégories triangulées et sont inverses l'un de l'autre. De plus le diagramme ci-dessous est quasi-commutatif.
\begin{equation*}
\xymatrix{ \Der_{\qcc}^+(\cA_X) \ar@<.4ex>[r]^-{\Phi} \ar[d]^-{\gr_\hbar}&  \Der^+_{\cc}(A) \ar@<.4ex>[l]^-{\Psi} \ar[d]^-{\gr_\hbar}\\
\Der_{\qcoh}^+(\cO_X) \ar@<.4ex>[r]^-{\Rg(X,\cdot)} &  \Der^+(B) \ar@<.4ex>[l]^-{\cO_X \otimes_{B_X} \cdot}.}
\end{equation*}
\end{theoetoilefr}

\subsection*{The Lefschetz-Lunts formula for DQ-modules}

Dans ce chapitre, extrait de \cite{DQLunts}, on adapte aux cas des DQ-modules une formule, due à V. Lunts, qui calcule la trace d'un noyau cohérent agissant sur l'homologie de Hochschild. La méthode de V. Lunts ne semble pas s'appliquer directement au cas des DQ-modules. En effet, dans le cadre commutatif, si $X$ est une variété projective lisse, le morphisme $X \to \pt$ va permettre d'intégrer une classe. Cependant, dans le cadre des DQ-modules un tel morphisme n'existe pas et l'on doit intégrer une paire de classes.

Pour remédier à ce problème, on s'inspire de l'idée courante en topologie algébrique (cf. \cite{may}) selon laquelle les théorèmes du point fixe de Lefschetz sont liés à des structures monoïdales. Dans la première partie du chapitre, on développe un formalisme abstrait permettant d'obtenir un théorème similaire à celui de Lunts à partir d'une catégorie monoïdale munie d'un foncteur à valeurs dans la catégorie dérivée des $k$-modules et satisfaisant un certain nombre de propriétés (voir la sous-section \ref{monoidalframework}). On applique ensuite ce formalisme aux DQ-modules et on obtient

\begin{theoetoilefr} 
Soit $X$ une variété analytique complexe lisse et compact munie d'un DQ-algébroïde $\cA_X$. Soit $\lambda \in \HH_0(\cA_{X \times X^a})$. Considérons le morphisme (\ref{moratr}) 
\begin{equation*}
\Phi_\lambda: \bHH(\cA_X) \to \bHH(\cA_X).
\end{equation*}
alors
\begin{equation*}
\tr_{\C^\hbar}(\Phi_\lambda)= \hh_{X^a \times X}(\cC_{X^a}) \underset{X \times X^a}{\cup} \lambda.
\end{equation*}
\end{theoetoilefr}

\begin{propetoilefr}
Soit $X$ une variété analytique complexe lisse et compacte munie d'un DQ-algébroïde $\cA_X$ et $\cK \in \Der^b_{\coh}(\cA_{X \times X^a})$. Alors
\begin{equation*}
\tr_{\C^\hbar}(\Phi_\cK)=\chi(\Rg(X \times X^a; \mathcal{C}_{X^a} \Lte_{\cA_{X \times X^a}} \cK)).
\end{equation*}
\end{propetoilefr}
  
On donne ensuite différentes formes de ces formules en particulier  lorsque la variété est supposée symplectique. On retrouve aussi les résultats de Lunts.

\subsection*{Fourier-Mukai transforms for DQ-modules}

Dans ce dernier chapitre, qui provient d'un travail en cours, on s'intéresse aux transformations intégrales pour les DQ-modules. Ce travail est motivé par le théorème de reconstruction de Bondal-Orlov. On commence par retrouver, avec une méthode différente de la méthode usuelle, certains résultats d'adjonction pour les transformations intégrales.

\begin{propetoilefr}
Soit $X_1$ (resp. $X_2$) une variété complexe projective lisse équipée de la topologie de Zariski et munie d'un DQ-algébroïde $\cA_1$ (resp. $\cA_2$). Soit $\Phi_\cK:\Der^b_{\coh}(\cA_2) \to \Der^b_{\coh}(\cA_1)$ la transformation intégrale associée à $\cK \in \Der^b_{\coh}(\cA_{12^a})$ et $\Phi_{\cK_R}:\Der^b_{\coh}(\cA_1) \to \Der^b_{\coh}(\cA_2)$ (resp. $\Phi_{\cK_L}:\Der^b_{\coh}(\cA_1) \to \Der^b_{\coh}(\cA_2)$) la transformation intégrale associée à $\cK_R=\Du^{\prime}_{\cA_{12^a}}(\cK) \underset{2^a}{\circ} \w_{2^a}$ (resp. $\cK_L=\Du^{\prime}_{\cA_{12^a}}(\cK) \underset{1}{\circ} \w_{1}$). Alors $\Phi_{\cK_R}$ (resp. $\Phi_{\cK_L}$) est adjoint à droite (resp. à gauche) de $\Phi_\cK$.
\end{propetoilefr}

Le résultat central du chapitre est une condition pour qu'une transformation intégrale soit une équivalence de catégories.

\begin{theoetoilefr}
Soit $X_1$ (resp. $X_2$) une variété complexe projective lisse équipée de la topologie de Zariski et munie d'un DQ-algébroïde $\cA_1$ (resp. $\cA_2$). Soit $\cK \in \Der_{\coh}^b(\cA_{12^a})$. Les conditions suivantes sont équivalentes.
\begin{enumerate}[(i)]
%
\item Le foncteur $\Phi_\cK: \Der^b_{\coh}(\cA_2) \to \Der^b_{\coh}(\cA_1)$ est pleinement fidèle (resp. est une équivalence de catégories triangulées).
%
\item Le foncteur $\Phi_{\gr_\hbar \cK}: \Der^b_{\coh}(\cO_2) \to \Der^b_{\coh}(\cO_1)$ est pleinement fidèle (resp. est une équivalence de catégories triangulées).
%
\end{enumerate}
\end{theoetoilefr}

La preuve de l'implication $(ii) \Rightarrow (i)$ ne présente pas de difficulté et fait appel à des arguments classiques de théorie des DQ-modules. Quant à la preuve de l'implication $(i) \Rightarrow (ii)$, elle repose essentiellement sur l'observation suivante.

\begin{propetoilefr}
Soit $X$ une variété algébrique complexe lisse munie d'un DQ-algebroïde.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Si $\mathcal{G}$ est un générateur compact de $\Der_{\qcoh}(\cO_X)$ alors $\gr_\hbar \iota_g \mathcal{G}$ est encore un générateur compact de $\Der_{\qcoh}(\cO_X)$.
\item On a $\Der^b_{\coh}(\cO_X)= \langle \gr_\hbar \iota_g(\mathcal{G}) \rangle $.
\end{enumerate}
\end{propetoilefr}

En effet, la preuve de l'implication $(i) \Rightarrow (ii)$ revient alors à considérer la sous-catégorie pleine de $\Der^b_{\coh}(\cO_2)$ dont les objets sont ceux pour lesquels $\Phi_{\gr_\hbar \cK}$ est pleinement fidèle. On montre que cette catégorie est une sous-catégorie épaisse de $\Der^b_{\coh}(\cO_2)$ contenant $\gr_\hbar \iota_g(\mathcal{G})$. La proposition ci-dessus permet alors de conclure.

\selectlanguage{english}

\section*{English version}

The main subject of this thesis is the study of deformation quantization modules (DQ-modules for short). They have been introduced by Konstevich in \cite{Kos} and a important foundational work has been carried out by Kashiwara and Schapira in \cite{KS3}. DQ-modules are modules over a DQ-algebroid stacks. These stacks are locally equivalent to star-algebras that is to say to deformation quantization of the sheaf of holomorphic functions of a complex Poisson variety.

This thesis investigates in which extents some theorems of algebraic geometry can be generalised to DQ-modules. Hence, to a non-commutative setting. We have focus our attention on a result of Bondal-Van den Bergh concerning the compact generators of the derived category of quasi-coherent sheaves and on its corollary asserting that an algebraic variety is dg affine (see \cite{BVdB}), on a Lefschetz theorem due to V. Lunts (see \cite{Lunts}) and finally on integral transforms.

Notions of homological or categorical nature, appearing in algebraic geometry, may usually be transposed to non-commutative framework. Hence, our study relies on an analysis of certain categorical structures showing up in the theory of DQ-modules.

A goal, out of reach at the present time, would be to obtain a reconstruction theorem for complex symplectic varieties starting from their derived category of coherent DQ-modules. Such a result is motivated by Bondal-Orlov's famous reconstruction result.

The present thesis is made of four chapters and one appendix concerning algebroid stacks. With the exception of the first chapter, they all directly concern the theory of DQ-modules. Let us briefly describe them.

\subsection*{A Riemann-Roch Theorem for dg Algebras}
In this chapter, motivated by the Riemann-Roch theorem for differential graded algebras due to Shklyarov \cite{shklyarov} and by a similar result of Kashiwara-Schapira for DQ-modules (\cite[§4.3]{KS3}), we obtain a Riemann-Roch theorem for differential graded algebras involving classes of pairs $(M,f)$ where $M$ is a perfect $A$-module and $f$ an endomorphism of $M$. These classes are with values in the Hochschild homology of the algebra $A$.

The aim of this chapter, based on \cite{RRdg}, is to extract some of the algebraic aspects of this latter approach with the hope that the resulting techniques will provide a uniform point of view for proving some index theorems.

We obtain a slightly more general version of Shklyarov's theorem. The major difference between his approach and ours is that we are directly working  with the Hochschild homology of the differential graded algebra $A$ and not with the definition of Hochschild homology in terms of the category of perfect complexes. Finally, the main result of this chapter is
\begin{theoetoile}
Let $A$ be a proper, homologically smooth dg algebra, $M \in \Der_{\mathrm{perf}}(A), \; f \in \Hom_A(M,M)$ and $ N \in
\Der_{\mathrm{perf}}(\op{A}), \; g \in \Hom_{\op{A}}(N,N)$.

Then

\begin{equation*}
\hh_k(N \Lte_{A} M, g \Lte_{A} f)=  \hh_{\op{A}}(N,g) \cup \hh_A(M,f),
\end{equation*}
where $\cup$ is a pairing between the corresponding Hochschild
homology groups and where $\hh_A(M,f)$ is the Hochschild class of the pair $(M,f)$ with 
value in the Hochschild homology of $A$.
\end{theoetoile}
 

\subsection*{DG Affinity of DQ-modules} 
In this chapter, extracted from the \cite{dgaff}, we give a non-commutative analogue of a famous result of Bondal-Van den Berg asserting that, on a quasi-compact and quasi-separated scheme, the category $\Der_{\qcoh}(\cO_X)$ is generated by a compact generator and that the compact object of $\Der_{\qcoh}(\cO_X)$ are the perfect complexes. This result implies that the category $\Der_{\qcoh}(\cO_X)$ is equivalent to the derived category of a suitable differential graded algebra.

It becomes rapidly clear that the notion of quasi-coherent object is not suitable for the theory of DQ-modules. A first difficulty is to find a triangulated category to replace $\Der_{\qcoh}(\cO_X)$. A key ingredient is Kashiwara-Schapira's notion of cohomological completeness. Therefore, we introduce the notion of cohomologically complete and graded quasi-coherent objects. These objects are called qcc modules and form a triangulated category $\Der_{\qcc}(\cA_X)$ (where $\cA_X$ is a DQ-algebroid) which can be thought of as the deformation of $\Der_{\qcoh}(\cO_X)$ while deforming $\cO_X$  into $\cA_X$. A second difficulty lies in the cocompletness of the category of qcc objects. Indeed, $\Der_{\qcc}(\cA_X)$ is not a cocomplete category for the usual direct sum of the category of DQ-modules but for the cohomological completion of this direct sum. 

Two functors play a leading role in the theory of DQ-modules. The functors 
\begin{align*}
\iota_g:\Der(\cO_X) \to \Der(\cA_X) && \gr_\hbar:\Der(\cA_X) \to \Der(\cO_X)\\
 \cM \mapsto _A \!\cO_X \Lte_{\cO_X} \cM                                    &&\cM \mapsto \cO_{XA} \Lte_{\cA_X} \cM.
\end{align*}
A key observation is that a compact generator of $\Der_{\qcoh}(\cO_X)$ gives a compact generator of the qcc objects. Indeed, we have

\begin{propetoilefr}
If $\mathcal{G}$ is a generator of $\Der_{\qcoh}(\cO_X)$, then $\iota_g(\mathcal{G})$ is a generator of $\Der_{\qcc}(\cA_X)$.
\end{propetoilefr}

The existence of a compact generator of $\Der_{\qcoh}(\cO_X)$ is granted by \cite{BVdB}. Relying on a theorem of Ravenel and Neeman (see \cite{Rav} and \cite{Nee_comp}) we describe completely the compact objects of $\Der_{\qcc}(\cA_X)$.

\begin{theoetoile}
An object $\mathcal{M}$ of $\Der_{\qcc}(\cA_X)$ is compact if and only if $ \mathcal{M} \in \Der^{b}_{\coh}(\cA_X)$ and $\cA_X^{loc} \otimes_{\cA_X} \mathcal{M}=0$.
\end{theoetoile}
 
Finally, using a result of Keller \cite{Keller_deriving}, we deduce that

\begin{theoetoile}
Assume $X$ is a smooth complex algebraic variety endowed with a deformation algebroid $\cA_X$. Then, $\Der_{\qcc}(\cA_X)$ is equivalent to $\Der(\Lambda)$ for a suitable dg algebra $\Lambda$ with bounded cohomology.
\end{theoetoile}

Finally, we study $\qcc$ sheaves on an affine variety and prove that the equivalence of triangulated categories between $\Der^+_{\qcoh}(\cO_X)$ and $\Der^+(\cO_X(X))$ lifts to an equivalence between $\Der^+_{\qcc}(\cA_X)$ and the triangulated category $\Der^+_{cc}(\cA_X(X))$ of cohomologically complete $\cA_X(X)$-modules

\begin{theoetoile}
Let X be a smooth affine variety. We set $A=\Gamma(X, \cA_X)$ and $B=\Gamma(X,\cO_X)$. 

The functors  
\begin{equation*} 
\Phi: \Der_{\qcc}^+(\cA_X) \to \Der_{\cc}^{+}(A), \; \Phi(\mathcal{M})=\Rg(X,\mathcal{M}) 
\end{equation*}
and
\begin{equation*}
\Psi:\Der_{\cc}^{+}(A) \to \Der_{\qcc}^+(\cA_X), \Psi(M)=(\cA_X \otimes_{A_X} a_X ^{-1}M)^{\cc}
\end{equation*}
are equivalences of triangulated categories, are inverses one to each other and the diagram below is quasi-commutative
\begin{equation*}
\xymatrix{ \Der_{\qcc}^+(\cA_X) \ar@<.4ex>[r]^-{\Phi} \ar[d]^-{\gr_\hbar}&  \Der^+_{\cc}(A) \ar@<.4ex>[l]^-{\Psi} \ar[d]^-{\gr_\hbar}\\
\Der_{\qcoh}^+(\cO_X) \ar@<.4ex>[r]^-{\Rg(X,\cdot)} &  \Der^+(B) \ar@<.4ex>[l]^-{\cO_X \otimes_{B_X} \cdot}.}
\end{equation*}
\end{theoetoile}


\subsection*{The Lefschetz-Lunts formula for DQ-modules}
In this chapter, extracted from \cite{DQLunts}, we adapt to the case of DQ-modules a formula of V. Lunts which calculates the trace of a coherent kernel acting on the Hochschild homology. The method of V. Lunts does not seems to work directly in the framework of DQ-modules. Indeed, in the commutative case, if $X$ is a smooth projective variety, the morphism $X \to \pt$ allows to integrate a class. However, such a map does not exist in the theory of DQ-modules. Thus, it is not possible to integrate a single class with value in Hochschild homology and one has to integrate a pair of classes.

To solve this problem, we follow the idea from algebraic topology (cf. \cite{may}) according to which Lefschetz fixed point theorems are linked to some monoidal structures. In the first part of the chapter, we build an abstract formalism in which we can get a formula for the trace of a class acting on a certain homology, starting from a symmetric monoidal category endowed with some specific data (see subsection \ref{monoidalframework}). Then, we apply this formalism to DQ-modules and get
\begin{theoetoile}
Let $X$ be a complex compact manifold endowed with a DQ-algebroid $\cA_X$. Let $\lambda \in \HH_0(\cA_{X \times X^a})$. Consider the map (\ref{moratr}) 
\begin{equation*}
\Phi_\lambda: \bHH(\cA_X) \to \bHH(\cA_X).
\end{equation*}
Then
\begin{equation*}
\tr_{\C^\hbar}(\Phi_\lambda)= \hh_{X^a \times X}(\cC_{X^a}) \underset{X \times X^a}{\cup} \lambda.
\end{equation*}
\end{theoetoile}

\begin{propetoilefr}
Let $X$ be a complex compact manifold endowed with a DQ-algebroid $\cA_X$ and let $\cK \in \Der^b_{\coh}(\cA_{X \times X^a})$. Then
\begin{equation*}
\tr_{\C^\hbar}(\Phi_\cK)=\chi(\Rg(X \times X^a; \mathcal{C}_{X^a} \Lte_{\cA_{X \times X^a}} \cK)).
\end{equation*}
\end{propetoilefr}

Finally, we give different forms of these formulas, especially when the manifolds is assumed to be symplectic. We also recover Lunts'results.

\subsection*{Fourier-Mukai transforms for DQ-modules}

In this last chapter, that comes from an ongoing work, we focus our attention on integral transforms for DQ-modules. This work is motivated by Bondal-Orlov's reconstruction theorem. We start by recovering some adjunction results for integral transforms.

\begin{propetoilefr}
Let $X_1$ (resp. $X_2$) be a smooth complex projective variety endowed with the Zariski topology and equipped with a DQ-algebroid $\cA_1$ (resp. $\cA_2$). Let $\Phi_\cK:\Der^b_{\coh}(\cA_2) \to \Der^b_{\coh}(\cA_1)$ be the Fourier-Mukai functor associated to $\cK \in \Der^b_{\coh}(\cA_{12^a})$ and $\Phi_{\cK_R}:\Der^b_{\coh}(\cA_1) \to \Der^b_{\coh}(\cA_2)$ (resp. $\Phi_{\cK_L}:\Der^b_{\coh}(\cA_1) \to \Der^b_{\coh}(\cA_2)$) the Fourier-Mukai functor associated to $\cK_R=\Du^{\prime}_{\cA_{12^a}}(\cK) \underset{2^a}{\circ} \w_{2^a}$ (resp. $\cK_L=\Du^{\prime}_{\cA_{12^a}}(\cK) \underset{1}{\circ} \w_{1}$). Then $\Phi_{\cK_R}$ (resp. $\Phi_{\cK_L}$) is right (resp. left) adjoint to $\Phi_\cK$.
\end{propetoilefr}

The main result of the chapter is a condition for an integral transform to be an equivalence of category.

\begin{theoetoile}
Let $X_1$ (resp. $X_2$) be a smooth complex projective variety endowed with the Zariski topology and equipped with a DQ-algebroid $\cA_1$ (resp. $\cA_2$). Let $\cK \in \Der^b_{\coh}(\cA_{12^a})$. The following conditions are equivalent
\begin{enumerate}[(i)]
\item The functor $\Phi_\cK: \Der^b_{\coh}(\cA_2) \to \Der^b_{\coh}(\cA_1)$ is fully faithful  (resp. an equivalence of triangulated categories).

\item The functor $\Phi_{\gr_\hbar \cK}:\Der^b_{\coh}(\cO_2) \to \Der^b_{\coh}(\cO_1)$ is fully faithful (resp. an equivalence of triangulated categories).
\end{enumerate}
\end{theoetoile}

The proof of the implication $(ii) \Rightarrow (i)$ does not present any difficulties and use classical techniques of DQ-modules theory. The proof of the implication $(i) \Rightarrow (ii)$ relies essentially on the following observation.

\begin{propetoilefr}
Let $X$ be a smooth complex algebraic variety endowed with a DQ-algebroid.
\begin{enumerate}[(i)]
\item If $\mathcal{G}$ is a compact generator of $\Der_{\qcoh}(\cO_X)$ then $\gr_\hbar \iota_g \mathcal{G}$ is still a compact generator of $\Der_{\qcoh}(\cO_X)$.
\item One has $\Der^b_{\coh}(\cO_X)= \langle \gr_\hbar \iota_g(\mathcal{G}) \rangle $.
\end{enumerate}
\end{propetoilefr}

The proof of the implication $(i) \Rightarrow (ii)$ comes down to study the full subcategory of $\Der_{\coh}^b(\cO_X)$ whose objects are those for which $\Phi_{\gr_\hbar \cK}$ is fully faithful. We show that this category is a thick subcategory of $\Der^b_{\coh}(\cO_X)$ containing $\gr_\hbar \iota_g (\mathcal{G})$. The above proposition leads to the result.


