Combinatoire bijective et énumérative des cartes pointées sur une surface - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 1998

Combinatoire bijective et énumérative des cartes pointées sur une surface

Résumé

A map is a connected graph embedded in a surface. Maps are topological objects which can be counted up to homeomorphism by their number of vertices, edges and faces. Maps admit inner symmetries which make them hard to enumerate. The scope of this work is limited to rooted maps, since rooting eliminates all symmetries. The exact number of rooted maps on a given surface is only known for surfaces with small genus, like the sphere (genus 0) or the projective plane (genus 1), since the enumeration methods complexity strongly increases with the surface genus. An important part of this work was to convert such a computational method into a common pattern symbolic proof for all the generating series of rooted maps with positive genus. For each orientable surface, we reduce the problem of finding the generating series to the determination of a polynomial whose degree is bounded by a simple function of the surface genus. A similar result is obtained for nonorientable surfaces. These results lead to practical methods for exact enumeration. They have been implemented in a software tool. New explicit formulas are given for enumerations up to genus 3. Independently, we describe a new bijection a family of planar hypermaps and partitions of polygons, both counted by Schröder numbers.
Une carte est le plongement d'un graphe dans une surface, à un homéomorphisme près. Ainsi, une carte est un objet topologique énumérable, en fonction du nombre de ses sommets, de ses arêtes et de ses faces. Les cartes admettent des symétries internes qui rendent leur énumération difficile. On n'envisage dans ce travail que l'énumération des cartes pointées, le pointage supprimant toutes les symétries. Le nombre exact de cartes pointées sur une surface donnée n'est connu que pour les surfaces de petit genre, comme la sphère (genre 0), le tore ou le plan projectif (genre 1). En effet, la complexité des méthodes de calcul de ces nombres augmente rapidement avec le genre des surfaces. Un travail important de cette thèse a été de convertir l'une de ces méthodes de calcul en une preuve de l'existence d'une structure commune à toutes les séries génératrices de cartes pointées de genre non nul. Pour chaque surface orientable, on réduit le problème à la détermination d'un polynôme, dont le degré est majoré par une fonction simple du genre de la surface. Un résultat analogue est obtenu pour les cartes pointées sur les surfaces non orientables. Des conséquences pratiques et une implantation logicielle de tous ces résultats sont décrites. De nouvelles formules explicites d'énumération sont données. Indépendamment, une bijection géométrique nouvelle est exposée, entre certaines cartes 2-coloriables et les partitions de polygones, énumérées par les nombres de Schröder.
Fichier principal
Vignette du fichier
Gio98thesis.pdf (1.47 Mo) Télécharger le fichier
Loading...

Dates et versions

tel-00724977 , version 1 (23-08-2012)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00724977 , version 1

Citer

Alain Giorgetti. Combinatoire bijective et énumérative des cartes pointées sur une surface. Mathématique discrète [cs.DM]. Université de Marne la Vallée, 1998. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00724977⟩
220 Consultations
529 Téléchargements

Partager

Gmail Facebook X LinkedIn More