Time-Slicing, Rescaling & Ratio-based Parallel Time Integration - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2010

Time-Slicing, Rescaling & Ratio-based Parallel Time Integration

Calcul en Tranches de Temps, Redimensionnement & Schéma Parallèle en Temps par la Méthode des Ratios

Résumé

Recently, many parallel-in-time algorithms have been proposed for solving initial value problems of the form (S): dY/dt = F(Y ); Y (t0) = Y0, that could follow, for example, from the space semi-discretization of partial di erential equations. Since there is no natural parallelism across time, those algorithms are mainly meant to tackle real-time problems or to be superposed to parallelism in the space or the method directions, thus enabling a more eff ective use of a higher number of processors. In this thesis, we propose a Ratio-based Parallel Time Integration (RaPTI) algorithm for solving (S) in a time-parallel way, in the case where the behavior of the solution is known. A sliced-time computing methodology underlies this new approach. It consists of (i) a time-slicing technique that ends a slice by shooting a relevant end-of-slice condition related to the behavior of the solution and (ii) a rescaling technique that changes both the time-variable and the solution, setting them to 0 at the beginning of each time-slice. Thus, solving (S) becomes equivalent to solving a sequence of initial value "shooting" problems, in which one seeks, on each time-slice, both the solution and the end-of-slice time. RaPTI algorithm uses this methodology, and some resulting similarity properties, for generating a coarse grid and providing ratio-based predictions of the starting values at the onset of every time-slice. The correction procedure is performed on a fi ne grid and in parallel, yielding some gaps on the coarse grid. Then, the predictions are updated and the process is iterated, until all the gaps are within a given tolerance. The originality of RaPTI algorithm lies in the fact that the predictions it provides, and their update at each iteration, do not require any integration on the coarse grid, unlike other parallel-in-time schemes. Moreover, it does not start with the choice of a coarse grid, it rather starts by choosing an end-of-slice condition that will generate a coarse grid that suits the behavior of the solution. RaPTI algorithm is applied, in this thesis, to three problems: a membrane problem, a reaction-diff usion problem and a satellite trajectory in a J2-perturbed motion. In some rare cases of invariance, it yields a perfect parallelism. In the more general cases of asymptotic and weak similarity, it yields good speed-ups.
Récemment, beaucoup de schémas parallèles en temps ont et e propos es pour résoudre des problèmes a valeur initiale de la forme (S): dY dt = F(Y ); Y (t0) = Y0, pouvant résulter, par exemple, de la semi-discretisation en espace d'équations aux derivees partielles. L'intégration des problèmes d'évolution étant naturellement séquentielle, de tels schémas ont pour principale motivation de résoudre des problèmes en temps réel ou de se superposer a un parallélisme a travers l'espace ou la méthode et ce, pour un usage plus efficace des machines fortement parallèles disponibles actuellement. Dans cette thèse, nous proposons l'algorithme RaPTI, qui permet de paralléliser en temps la résolution du problème (S), lorsque le comportement de la solution est connu. Une méthode de calcul par tranches est a la base de ce nouveau schéma. Elle consiste en (i) une procédure de génération de tranches de temps basée sur une condition de n de tranche que la solution doit vérifer et (ii) un redimensionnement de la variable temps et de la solution qui les initialise a zéro au début de chaque tranche de temps. Ainsi, la résolution de (S) devient équivalente a la résolution d'une suite de problèmes redimensionnes a valeur initiale et avec condition de fi n de tranche, donnant a la fois la solution sur chacune des tranches et le temps de fin de tranche. L'algorithme RaPTI utilise donc cette méthodologie, et certaines propriétés de similarité qui en découlent, pour générer la grille de temps grossière et fournir des prédictions au moyen d'une méthode de ratios. La procédure de correction se fait ensuite, sur une grille de temps fine, en résolvant en parallèle les systèmes redimensionnes. Ceci conduit a des sauts sur la grille de temps grossière. Les prédictions sont alors corrigées et le processus est itéré jusqu'à ce que tous les sauts soient inférieurs a une certaine tolérance. L'originalité de l'algorithme RaPTI réside dans le fait que les prédictions, et leur corrections a chaque itération, ne nécessitent aucune résolution sur la grille de temps grossière, contrairement aux autres schémas parallèles en temps. De plus, il ne commence pas par un choix de la grille grossière, mais plutôt par le choix d'une condition de fin de tranche qui va générer cette grille de façon bien adaptée au comportement de la solution. L'algorithme RaPTI est applique, dans cette thèse a trois problèmes: un problème de membrane, un problème de reaction-diffusion et un calcul de trajectoire de satellite dans un mouvement perturbe en J2. Dans quelques rares cas d'invariance, il conduit a un parallélisme parfait. Dans les cas plus courants de similarité asymptotique ou faible, il donne de bons speed-ups.
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ThA_se_NMakhoul_dec_2010.pdf (2.43 Mo) Télécharger le fichier

Dates et versions

tel-00743132 , version 1 (18-10-2012)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00743132 , version 1

Citer

Noha Makhoul-Karam. Time-Slicing, Rescaling & Ratio-based Parallel Time Integration. Numerical Analysis [cs.NA]. Université Rennes 1, 2010. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00743132⟩
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