Codes correcteurs avec les polynômes tordus - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2010

Skew codes

Codes correcteurs avec les polynômes tordus

Résumé

We generalize the notion of cyclic code and we construct codes as ideals in finite quotients of non-commutative polynomial rings, so called Ore rings. We propose a method to obtain block codes of prescribed rank or Hamming distance. In particular we construct a $[42,14,21]_8$ code by imposing a rank and a $[40,20,10]_4$ code by imposing a distance, which both improve by one the minimum distance of the previously best known linear codes with the same length and dimension over those fields. We also study some multivariate Ore rings and the generalization of the Buchberger's algorithm allows us to manipulate the ideals of these rings and to build skew codes. We obtain, in particular, the generator matrix in the standard form.
Les anneaux de polynômes sont l'un des outils privilégiés pour construire et étudier des familles de codes correcteurs. Nous nous proposons, dans cette thèse, d'utiliser des anneaux de Öre, qui sont des anneaux de polynômes non-commutatifs, afin de créer des codes correcteurs. Cette approche nous permet d'obtenir des familles de codes correcteurs plus larges que si l'on se restreint au cas commutatif mais qui conservent de nombreuses propriétés communes. Nous obtenons notamment un algorithme qui permet de fabriquer des codes correcteurs dont la distance de Hamming ou la distance rang est prescrite. C'est ainsi que nous avons exhibé deux codes qui améliorent la meilleure distance minimale connue pour un code de même longueur et de même dimension. L'un est de paramètres $[42,14,21]$ sur le corps $\mathbb{F}_8$ et l'autre de paramètres $[40,23,10]$ sur $\mathbb{F}_4$. La généralisation de cette étude au cas d'anneaux polynomiaux multivariés est également présentée; l'outil principal est alors la théorie des bases de Gröbner qui s'adapte dans ce cadre non-commutatif et permet de manipuler des idéaux pour créer de nouvelles familles de codes correcteurs.
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Dates et versions

tel-00813705 , version 1 (16-04-2013)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00813705 , version 1

Citer

Lionel Chaussade. Codes correcteurs avec les polynômes tordus. Géométrie algébrique [math.AG]. Université Rennes 1, 2010. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00813705⟩
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