Contributions in the matroid theory : base polytope, orientations, algorithms - Archive ouverte HAL Access content directly
Theses Year : 2011

Contributions in the matroid theory : base polytope, orientations, algorithms

Contributions à la théorie des matroïdes : polytope des bases, orientations et algorithmes

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Abstract

In chapter 2, we study a special decomposition intoduced by Lafforgue. More precisely, let P(M) be the matroid base polytope of a matroid M. A matroid base polytope decomposition of P(M) is a decomposition of the form P(M) = St i=1 P(Mi) where each P(Mi) is also a matroid base polytope for some matroid Mi, and for each 1 i 6= j t, the intersection P(Mi)\P(Mj) is a face of both P(Mi) and P(Mj). In this thesis, we investigate hyperplane splits, that is, polytope decompositions when t = 2. We give sufficient conditions for M so P(M) has a hyperplane split and characterize when P(M1 M2) has a hyperplane split where M1 M2 denote the direct sum of matroids M1 and M2. We also prove that P(M) has not a hyperplane split if M is binary. Finally, we show that P(M) has not a decomposition if its 1-skeleton is the hypercube. In chapitre 3 we investigate the class of lattice oriented matroids. After giving a complete characterization of lattice oriented matroids in terms of union of rank-1 uniform oriented matroids, we show that this class is closed under duality and minors. We then study the simplexes of the hyperplane arrangements arising from lattice oriented matroids. We present a characterization of these simplexes and contruct arrangements of n hyperplanes in dimension d containing O(2k(n k )k) simplexes with n < k = bd 2 c. We finally investigate a question by Grünbaum [Grünbaum, 1971] concerning colorings of pseudoline arrangements. We extend Grünbaum's question to arrangements of hyperplanes and answer affirmatively the generalized question for arrangements arising from lattice oriented matroids. In chapitre 4 we are interested in an oriented matroid version of the well-known Shannon's switching game introduced by Hamidoune and Las Vergnas[Hamidoune et Las Vergnas, 1997a] in 1986. They conjectured that the classification of the directed switching game on an oriented matroids is identical to the classification of non-oriented version. In this thesis, we support this conjecture by showing its validity for an infinity class of oriented matroids obtained as unions of rank-1 and/or rank-2 uniform oriented matroids.
Dans cette thèse on étudie différents problèmes portant sur les matroïdes et les matroïdes orientés. On s'intéresse à trois sujets particuliers : la décomposition du polytope des bases d'un matroïde, l'orientation de matroïdes et le jeu de commutation de Shannon. Plus précisément dans le chapitre 2 nous étudions une décomposition spéciale introduite par Lafforgue. Pour un matroïde M, une décomposition du polytope des bases d'un matroïde P(M) est une décomposition de la forme P(M) = St i=1 P(Mi) où chaque P(Mi) est également un polytope des bases d'un matroïde pour un certain matroïde Mi, et pour chaque 1 i 6= j t, l'intersection P(Mi) \ P(Mj) est une face de P(Mi) et de P(Mj). Dans cette thèse, nous étudions la séparation par hyperplan, autrement dit la décomposition du polytope quand t = 2. Nous donnons des conditions suffisantes sur M pour que P(M) puisse avoir une séparation par hyperplan. Nous caractérisons également les cas où P(M1 M2) a une séparation par hyperplan où M1 M2 dénote la somme directe des matroïdes M1 et M2. Nous montrons finalement que P(M) n'a pas de séparation par hyperplan si M est binaire. Dans le chapitre 3 nous étudions la classe des matroïdes orientés du réseau. Après avoir donné une caractérisation complète des matroïdes orientés du réseau en fonction de l'union de matroïdes orientés uniformes de rang un, nous montrons que cette classe est fermée par dualité et par mineurs. Nous étudions ensuite les simplexes de l'arrangement d'hyperplans découlant de matroïdes orientés du réseau. Nous présentons une caractérisation de ces simplexes et construisons un arrangement de n hyperplans en dimension d contenant O(2k(n k )k) simplexes avec n < k = bd 2 c. Nous approfondissons une question posée par Grünbaum [Grünbaum, 1971] concernant les colorations des arrangements de pseudodroites. Nous prolongeons la question de Grünbaum à des arrangements d'hyperplans et répondons par l'affirmative à cette question généralisée pour les arrangements découlants de matroïdes orientés du réseau. Dans le chapitre 4 nous nous sommes intéressés à une une version sur les matroïdes orientés du célèbre jeu de commutation de Shannon, version introduite par Y.O. Hamidoune et M.Las Vergnas[Hamidoune et Las Vergnas, 1997a] en 1986. Ils ont conjecturé que la classification du jeu de commutation sur les matroïdes orientés est identique à la classification de la version non orientée. Dans cette thèse, nous confortons cette conjecture en montrant sa validité pour la classe infinie de matroïdes orientés obtenues comme union de matroïdes orientés uniformes de rang 1 et/ou de rang 2.
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tel-00824903 , version 1 (22-05-2013)

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  • HAL Id : tel-00824903 , version 1

Cite

Vanessa Chatelain. Contributions à la théorie des matroïdes : polytope des bases, orientations et algorithmes. Théorie des représentations [math.RT]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2011. Français. ⟨NNT : 2011PA066253⟩. ⟨tel-00824903⟩
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