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Theses Year : 2013

Dynatomic curve and core entropy for iteration of polynomials

Courbes dynatomiques et entiropie noyau de polynômes itérés

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Abstract

When studying dynamical systems generated by a family of polynomials, it arises naturally cyclotomic type algebraic curves containing periodic or preperiodic points. In the periodic case of the family fc(z) = zd + c, the first chapter of this thesis shows that all these curves are smooth and irreducible, generalizing the known results to the case d = 2. In the preperiodic case of the same family, the second chapter of this thesis shows, against all expected that these curves are in general reducible. In addition, there contains a characterization of irreducible components and their analytical and geometrical relationship. The second theme of this thesis a new topic developed by W. Thurston, it is core entropy of polynomials. Thurston gave an algorithm, without proof, for compute these entropies. The thesis contains a rigorous proof of this algorithm and new methods to study the variation of these entropies from several views. The last topic of this thesis gives a necessary and sufficient condition for a kind of rational map having a C1-arc in its Julia set.
Lorsqu'on étudie les systèmes dynamiques engendrés par une famille de polynômes, il apparait naturellement des courbes algébriques de type cyclotomique, contenant des points périodiques ou prépériodiques. Dans le cas périodique de la famille zd + c, le premier chapitre de cette thèse montre, en collaboration avec Ou, que ces courbes sont toutes lisses et irréductibles, généralisant les résultats connus au cas d=2. Dans le cas prépériodique de la même famille, le deuxième chapitre de la thèse montre, contre tout attendu, que ces courbes sont en général réductibles. En plus, il y contient une caractérisation des composantes irréductibles ainsi que leur relation géométrique et analytique. Le deuxième thème de cette thèse concerne un nouveau sujet développé par W. Thurston, il s'agit d'entropie noyau des polynômes. Thurston a donné un algorithme, sans preuve, pour calculer ces entropies. La thèse contient une preuve rigoureuse de cet algorithme ainsi que des nouvelles méthodes pour étudier la variation de ces entropies en jonglant plusieurs points de vue. Le dernier thème de cette thèse donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fraction rationnelle possède un compact errant plein dans son ensemble de Julia. On savait que dans le cas particulier des polynômes ce genre de compact ne pouvait pas du tout exister.
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Dates and versions

tel-00874123 , version 1 (17-10-2013)

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  • HAL Id : tel-00874123 , version 1

Cite

Yan Gao. Dynatomic curve and core entropy for iteration of polynomials. Dynamical Systems [math.DS]. Université d'Angers, 2013. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00874123⟩
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