Etude de certains ensembles singuliers associés à une application polynomiale - TEL - Thèses en ligne Access content directly
Theses Year : 2013

Study of somes singular sets associated to a polynomial map

Etude de certains ensembles singuliers associés à une application polynomiale

Thuy Nguyen Thi Bich
  • Function : Author
  • PersonId : 947332

Abstract

There are two parts in the present work. The first part concerns the asymptotic set of a polynomial mapping $F: \C^n \to \C^n$. In the 90s, Zbigniew Jelonek showed that this set is a $(n-1)$ - (complex) dimensional singular variety. We gave a method, called méthode façon, for stratifying this set. We obtained a Thom-Mather stratification. Moreover, there exists a Whitney stratification such that the set of possible façons is constant on every stratum. By using the façons, we gave an algorithm for expliciting the asymptotic sets of a dominant quadratic polynomial mapping in three variables. As a result, we have a complete list of the asymptotic sets in this case. The second part concerns the set called Valette set $V_F$. In 2010, Anna and Guillaume Valette constructed a real pseudomanifold $V_F \subset \R^{2n + p}$, where $p > 0$, associated to a polynomial mapping $F: \C^n \to \C^n$. In the case $n = 2$, they proved that if $F$ is a polynomial mapping with nowhere vanishing Jacobian, then $F$ is not proper if and only if the homology (or intersection homology) of $V_F$ is not trivial in dimension 2. We gave a generalization of this result, in the case of a polynomial mapping $F = (F_1, \ldots, F_n): \C^n \to \C^n$ with nowhere vanishing Jacobian. We gave also a method for stratifying the set $V_F$. As applications, we have the stratifications of the set $K_{\infty}(F)$ of asymptotic critial values of $F$, the set $B(F)$ of bifurcation points of $F$.
Ce travail comporte deux parties dont la première concerne l'ensemble asymptotique d'une application polynomiale $F : \C^n \to \C^n$. Dans les années 90s, Z. Jelonek a montré que cet ensemble est une variété algébrique complexe singulière de dimension (complexe) $n-1$. Nous donnons une méthode, appelée méthode façon, pour strati fier cet ensemble. Nous obtenons une strati cation de Thom-Mather. En utilisant les façons, nous donnons un algorithme pour expliciter l'ensemble asymptotique d'une application quadratique dominante en trois variables. Nous obtenons aussi une liste des ensembles asymptotiques dans ce cas. La deuxième partie concerne l'ensemble $V_F$ , appelé l'ensemble des Valette. L'année 2010, Anna et Guillaume Valette ont construit une pseudo-variété réelle $V_F \in R^{2n+ p}$, où $p > 0$, associée à une application polynomiale $F : C^n \to C^n$. Dans le cas $n= 2$, ils ont prouvéque si $F$ est une application polynomiale de déterminant jacobien partout non nul, alors $F$ n'est pas propre si et seulement si l'homologie (ou l'homologie d'intersection) de $V_F$ n'est pas triviale en dimension 2. Nous donnons une généralisation de ce résultat, dans le cas d'une application polynomiale $F= (F_1, \ldots, F_n : \C^n to \C^n$ de jacobien partout non nul. Nous donnons aussi une méthode pour stratifi er l'ensemble $V_F$ . Comme applications, nous avons les strati cations de l'ensemble $K_{\infty}F$ des valeurs critiques asymptotiques de $F$, de l'ensemble $B(F)$ des points bifurcation de F.
Fichier principal
Vignette du fichier
TheseThuy.pdf (2.5 Mo) Télécharger le fichier
Loading...

Dates and versions

tel-00875930 , version 1 (23-10-2013)

Identifiers

  • HAL Id : tel-00875930 , version 1

Cite

Thuy Nguyen Thi Bich. Etude de certains ensembles singuliers associés à une application polynomiale. Géométrie algébrique [math.AG]. Université de la Méditerranée - Aix-Marseille II, 2013. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00875930⟩
464 View
321 Download

Share

Gmail Facebook X LinkedIn More