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Thèse Année : 2013

Indecomposability in field theory and applications to disordered systems and geometrical problems

Indecomposabilité dans les théories des champs et applications aux systèmes désordonnés et aux problèmes géométriques

Résumé

Logarithmic Conformal Field Theories (LCFTs) are crucial for describing the critical behavior of a variety of physical systems. These include phase transitions in disordered non-interacting electronic systems (such as the transition between plateaus in the integer quantum Hall effect), disordered critical points in classical statistical models (such as the random bond Ising model), or critical geometrical models (such as polymers and percolation). LCFTs appear when one has to give up the unitarity condition, which is natural in particle physics applications, but not in statistical mechanics and condensed matter physics. Without unitarity, the powerful algebraic approach of conformal invariance encounters formidable technical difficulties due to 'indecomposability'. This in turn yields logarithmic corrections to the power-law correlations at the critical point, and prevents the use of general classification techniques that have proven so powerful in the unitary case. The goal of this thesis is to understand LCFTs by studying their lattice regularizations, the crucial point being that most algebraic complications due to indecomposability occur in finite size systems as well. Our approach is thus to consider critical statistical models with non-diagonalizable transfer matrices, or gapless quantum spin chains with non-diagonalizable hamiltonians, and to study their scaling limit by utilizing a variety of algebraic, numerical and integrable techniques. We show how to measure numerically universal parameters that characterize the indecomposable representations of the Virasoro algebra which emerge in the thermodynamic limit. An extensive understanding of a wide class of lattice models allows us to conjecture a tentative classification of all possible (chiral) LCFTs with Virasoro symmetry only. This approach is partially extended to the bulk case, for which we discuss how the long-standing bulk CFT formulation of percolation can be tackled along these lines. We also argue that boundary and periodic lattice models can be related algebraically only in the case of minimal models, and we work out the consequences for the underlying boundary and bulk field theories. Several concrete applications to disordered systems and geometrical problems are discussed, and we uncover a large class of geometrical observables in the Potts model that behave logarithmically at the critical point.
Les théories des champs conformes logarithmiques (LCFTs) sont cruciales pour décrire le comportement critique de systèmes physiques variés: les transitions de phase dans les systèmes électroniques désordonnés sans interaction (comme par exemple la transition entre plateaux dans l'effet Hall quantique entier), les points critiques désordonnés dans les systèmes statistiques classiques (comme le modèle d'Ising avec liens aléatoires), ou encore les modèles géométriques critiques (comme la percolation ou les marches aléatoires auto-évitantes). Les LCFTs décrivent des théories non unitaires, qui ne seraient probablement pas pertinentes dans le contexte de la physique des particules, mais qui apparaissent naturellement en matière condensée et en physique statistique. Sans cette condition d'unitarité, toute la puissance algébrique qui a fait le succès des théories conformes est fortement compromise à cause de ''l'indécomposabilité'' de la théorie des représentations sous-jacente. Ceci a pour conséquence de modifier les fonctions de corrélation algébriques par des corrections logarithmiques, et réduit sévèrement l'espoir d'une classification générale. Le but de cette thèse est d'analyser ces théories logarithmiques en étudiant leur régularisation sur réseau, l'idée principale étant que la plupart des difficultés algébriques causées par l'indécomposabilité sont déjà présentes dans des systèmes de taille finie. Notre approche consiste à considérer des modèles statistiques critiques avec matrice de transfert non diagonalisable (ou des chaînes de spins critiques avec Hamiltonien non diagonalisable) et d'analyser leur limite thermodynamique à l'aide de différentes méthodes numériques, algébriques et analytiques. On explique en particulier comment mesurer numériquement les paramètres universels qui caractérisent les représentations indécomposables qui apparaissent à la limite continue. L'analyse détaillée d'une vaste classe de modèles sur réseau nous permet également de conjecturer une classification de toutes les LCFTs chirales pertinentes physiquement, pour lesquelles la seule symétrie est donnée par l'algèbre de Virasoro. Cette approche est aussi partiellement étendue aux théories non chirales, avec une attention particulière portée au problème bien connu de la formulation d'une théorie des champs cohérente qui décrirait la percolation en deux dimensions. On montre que les modèles sur réseaux périodiques ou avec bords peuvent être reliés algébriquement seulement dans le cas des modèles minimaux, impliquant des conséquences intéressantes pour les théories des champs sous-jacentes. Un certain nombre d'applications aux systèmes désordonnés et aux modèles géométriques sont également abordées, avec en particulier une discussion détaillée des observables avec comportement logarithmique au point critique dans le modèle de Potts en dimension arbitraire.
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Dates et versions

tel-00876155 , version 1 (23-10-2013)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00876155 , version 1

Citer

Vasseur Romain. Indecomposability in field theory and applications to disordered systems and geometrical problems. Mathematical Physics [math-ph]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2013. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00876155⟩
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