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Thèse Année : 2013

The Chiral Structure of Loop Quantum Gravity

Résumé

Loop gravity is a tentative theory to describe what happens at the Planck scale, the scale at which both general relativity and quantum theory become equally important. It comes in two versions. The canonical approach seeks to solve the Wheeler--DeWitt equation and find the physical states of the theory. Spinfoam gravity, on the other hand, takes a covariant path integral representation to define the transition amplitudes of the theory. Both approaches use the same Hilbert space, but we do not know whether they actually define the same theory. In this thesis, I will present four results, all of which lie in between the two approaches. We start with the classical theory. When Ashtekar first formulated Hamiltonian general relativity in terms of self-dual (complex Ashtekar) variables the ADM constraint equations turned into neat polynomials of the elementary fields. This was a huge simplification and eventually initiated the program of loop quantum gravity. For a number of technical reasons the complex variables have later been abandoned in favour of the SU(2) Ashtekar--Barbero variables, and the simplification of the Hamiltonian constraint was lost again. These SU(2) variables are usually derived from the Holst action, which contains the Barbero--Immirzi parameter as an additional coupling constant. After the first introductory chapter, we will use the original self-dual connection to repeat the canonical analysis for the Holst action, while leaving the Barbero--Immirzi parameter untouched. The resulting constraint equations depend on this parameter, yet maintain a polynomial form. To guarantee that the metric is real, we have to introduce additional constraints. These reality conditions match the linear simplicity constraints of spinfoam gravity. They are preserved in time only if the spatial spin connection is torsionless, which appears as a secondary constraint in the canonical analysis. This is our first complex of results. The next chapter is about the classical theory, and studies how to discretise gravity in terms of first-order holonomy-flux variables. The corresponding phase space has a non-linear structure. Twistors allow to handle this non-linearity while working on a linear phase space with canonical Darboux coordinates. This framework was originally introduced by Freidel and Speziale, but only for the case of SU(2) Ashtekar--Barbero variables. Here, we develop the generalisation to SL(2,C), that is we use twistors to parametrise the phase space of self-dual holonomy-flux variables. This is the second result. We will then discuss the spinfoam dynamics in terms of these twistorial variables, and arrive at our third result: A new Hamiltonian formulation of discretised gravity. The Hamiltonian comes with a continuum action adapted to a fixed simplicial discretisation of spacetime. The action is a sum of the spinorial analogue of the topological BF-action and the reality conditions that guarantee the existence of a metric. Chapter four studies the resulting quantum theory. Since the action is a polynomial in the spinors, canonical quantisation is straightforward. Transition amplitudes reproduce the EPRL (Engle--Pereira--Rovelli--Livine) spinfoam model. This is our final result. It shows that spinfoam gravity can be derived from a classical action, with spinors as the fundamental configuration variables.
La gravité quantique à boucles est une théorie candidate à la description unifiée de la relativité générale et de la mécanique quantique à l'échelle de Planck. Cette théorie peut être formulée de deux manières. L'approche canonique, d'une part, cherche à résoudre l'équation de Wheeler--DeWitt et à définir les états physiques. L'approche par les écumes de spins, d'autre part, a pour but de calculer les amplitudes de transition de la gravité quantique via une intégrale de chemin covariante. Ces deux approches s'appuient sur a même structure d'espace de Hilbert, mais la question de leur correspondance exacte reste un important problème ouvert à ce jour. Dans ce travail de thèse, nous présentons quatre résultats en rapport avec ces deux approches. Après un premier chapitre introductif, le second chapitre concerne l'étude de la théorie classique. Historiquement, l'introduction des variables d'Ashtekar complexes (self-duales) dans la formulation hamiltonienne de la relativité générale fut motivée par l'obtention d'une contrainte scalaire polynomiale. Cette simplification drastique est à la base du programme de la gravité quantique à boucles. Pour un certain nombre de raisons techniques, ces variables complexes furent ensuite abandonnées au profit des variables d'Ashtekar-Barbero, pour lesquelles le groupe de jauge est SU(2). Avec ce choix de variables réelles, la contrainte hamiltonienne n'est malheureusement plus polynomiale. La formulation en terme des variables SU(2) réelles peut être obtenue à partir de l'action de Holst, qui contient le paramètre dit de Barbero-Immirzi comme constante de couplage additionnelle. Dans un premier temps, nous allons utiliser les variables d'Ashtekar complexes pour effectuer l'analyse canonique de l'action de Holst avec un paramètre de Barbero-Immirzi réel. Les contraintes qui découlent de cette analyse canonique dépendent de ce paramètre libre, et ont l'avantage d'être polynomiales. Afin de garantir que la métrique soit une quantité réelle, un ensemble de contraintes de réalité doivent être imposées. Il s'avère que ces conditions de réalité correspondent aux contraintes de simplicité linéaires utilisées pour la construction des modèles d'écumes de spins. Ces contraintes sont préservées par l'évolution hamiltonienne si et seulement si la connexion est sans torsion. Cette condition sur l'absence de torsion est en fait une contrainte secondaire de l'analyse canonique. La second chapitre concerne également la théorie classique, mais s'intéresse à sa discrétisation en terme des variables de premier ordre dites holonomie-flux. L'espace des phases qui résulte de cette construction possède une structure non-linéaire. Le formalisme des twisteurs permet d'accommoder cette non-linéarité en travaillant sur un espace des phases linéaire paramétré par les coordonnées canoniques de Darboux. Ce formalisme fut introduit par Freidel et Speziale, mais uniquement dans le cas des variables SU(2) d'Ashtekar-Barbero. Nous généralisons ce résultat au cas du groupe de Lorentz. Nous étudions ensuite la dynamique en terme d'écumes de spins obtenue à partir de ces variables, et développons une nouvelle formulation hamiltonienne de la gravité discrétisée. Ce nouveau formalisme est obtenu en écrivant l'action de la théorie continue sur une discrétisation simpliciale de l'espace-temps fixée. L'action discrète ainsi obtenue est la somme de l'analogue en terme de spineurs d'une action topologique de type BF et des contraintes de réalité qui garantissent l'existence d'une métrique réelle. Cette action est polynomiale en terme des spineurs, ce qui permet de procéder à sa quantification canonique de manière relativement aisée. Le dernier chapitre s'intéresse à la théorie quantique obtenue suivant cette procédure. Les amplitudes de transition reproduisent celles du modèle d'écume de spins EPRL (Engle Pereira Rovelli Livine). Ce résultat est intéressant car il démontre que la formulation de la gravité quantique en termes d'écumes de spins peut être obtenue à partir d'une action classique écrite en terme de spineurs.
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Dates et versions

tel-00952498 , version 1 (03-03-2014)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00952498 , version 1

Citer

Wolfgang Martin Wieland. The Chiral Structure of Loop Quantum Gravity. Relativité Générale et Cosmologie Quantique [gr-qc]. Aix-Marseille Université, 2013. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00952498⟩
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