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Theses Year : 2014

Domain decomposition method for Schrödinger equation

Méthode de décomposition de domaines pour l’équation de Schrödinger

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Abstract

This thesis focuses on the development and the implementation of domain decomposition methods for the linear and non-linear, one dimensional and two dimensional Schrödinger equations. In the first part, we focus on the Schwarz waveform relaxation method (SWR) for the one dimensional Schrödinger equation. In the case the potential is linear and time-independent, we propose a new algorithm that is scalable and allows a significant reduction of computation time compared with the classical algorithm. For a time-dependent linear potential or a non-linear potential, we use a previously defined linear operator as preconditioner. This ensures high scalability. We also generalize the work of Halpern and Szeftel on transmission condition. We use the absorbing boundary conditions recently constructed by Antoine, Besse and Klein as the transmission condition. We also carry the codes developed on Cpu on Gpus accelerator (graphics card) for the one dimensional Schrödinger equation. The second part concerns the SWR method and the domain decomposition in space method for the Schrödinger equation in two dimensions. We generalize the new algorithm and the preconditioned algorithm proposed in the first part to the case of two dimensions. Furthermore, in Chapter 6, we generalize the work of Loisel on the optimized Schwarz method with cross points for the Laplace equation, which leads to the SWR method with cross points. In the last part, we apply the domain decomposition methods présented in the previous chapters to the simulation of Bose-Einstein condensate, that could not only reduce the total computation time, but also realise the simulations which are not possible on a single calculation node.
Ce travail de thèse porte sur le développement et la mise en oeuvre de méthodes de décomposition de domaines pour les équations de Schrödinger linéaires ou non-linéaires en une ou deux dimensions d’espace. Dans la première partie, nous nous intéressons à la méthode de relaxation d’ondes de Schwarz (SWR) pour l’équation de Schrödinger en une dimension. Dans le cas où le potentiel est linéaire et indépendant du temps, nous proposons un nouvel algorithme qui est scalable et permet une forte réduction du temps de calcul comparativement à l’algorithme classique. Pour un potentiel linéaire dépendant du temps ou un potentiel non-linéaire, nous utilisons un opérateur linéaire préalablement défini pour le potentiel nul comme un préconditionneur. Cela permet d’assurer une forte scalabilité. Nous généralisons également les travaux de Halpern et Szeftel sur la condition de transmission en utilisant des conditions absorbantes construites récemment par Antoine, Besse et Klein. Par ailleurs, nous portons les codes développés sur Cpu sur des accélérateur Gpu (carte graphique) pour l’équation de Schrödinger en une dimension. La deuxième partie concerne la méthode SWR et la méthode de décomposition d’espace pour l’équation de Schrödinger en deux dimensions. Nous généralisons le nouvel algorithme et l’algorithme avec préconditionneur proposés dans la première partie au cas de la dimension deux. Par ailleurs, dans le chapitre 6, nous généralisons les travaux de Loisel sur la méthode de Schwarz optimisée avec points de croisement pour l’équation de Laplace, qui conduit à la méthode SWR avec points de croisement. Dans la dernière partie, nous appliquons les méthodes de décomposition de domaines que nous avons étudiées à la simulation de condensat de Bose-Einstein qui permettent de diminuer le temps de calcul total, mais aussi de réaliser des simulations impossibles sur un seul noeud de calcul.
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Dates and versions

tel-01110333 , version 1 (27-01-2015)

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  • HAL Id : tel-01110333 , version 1

Cite

Feng Xing. Méthode de décomposition de domaines pour l’équation de Schrödinger. Analyse numérique [math.NA]. Université Lille 1 - Sciences et Technologies, 2014. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01110333⟩
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