Metric structures and their automorphism groups: reconstruction, homogeneity, amenability and automatic continuity - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2015

Metric structures and their automorphism groups: reconstruction, homogeneity, amenability and automatic continuity

Structures métriques et leurs groupes d'automorphismes : reconstruction, homogénéité, moyennabilité et continuité automatique

Adriane Kaïchouh
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 945175

Résumé

This thesis focuses on the study of Polish groups seen as automorphism groups of metric structures. The observation that every non-archimedean Polish group is the automorphism group of an ultrahomogeneous countable structure has indeed led to fruitful interactions between group theory and model theory. In the framework of metric model theory, introduced by Ben Yaacov, Henson and Usvyastov, this correspondence has been extended to all Polish groups by Melleray. In this thesis, we study various facets of this correspondence. The relationship between a structure and its automorphism group is particularly close in the setting of aleph_0-categorical structures. Indeed, the Ahlbrandt-Ziegler reconstruction theorem allows one to recover an aleph_0-categorical structure, up to bi-interpretability, from its automorphism group. In a joint work with Itaï Ben Yaacov, we generalize this result to separably categorical metric structures. Besides, ultrahomogeneous countable structures have the advantage of being completely determined by their finitely generated substructures. In particular, this enabled Moore to give a combinatorial characterization of amenability for non-archimedean Polish groups. We extend this characterization to all Polish groups and we deduce that amenability is a G_delta condition. Still in a reconstruction perspective, we are interested in the automatic continuity property for Polish groups. Sabok and Malicki introduced conditions of a combinatorial nature on an ultrahomogeneous metric structure that imply the automatic continuity property for its automorphism group. We show that these conditions carry to countable powers, which leads to the groups Aut(mu)^N, U(L^2)^N and Iso(U)^N satisfying the automatic continuity property. Those conditions are a weakening of the property of having ample generics. In a joint work with François Le Maître, we exhibit the first examples of connected groups with ample generics, which answers a question of Kechris and Rosendal. Finally, in a joint work with Isabel Müller and Aristotelis Panagiotopoulos, we study the relative homogeneity of substructures in an ultrahomogeneous countable structure. We characterize it completely by a property of the types over the substructures: being determined by a finite set.
Cette thèse porte sur l'étude des groupes polonais vus comme groupes d'automorphismes de structures métriques. L'observation que tout groupe polonais non archimédien est le groupe d'automorphismes d'une structure dénombrable ultrahomogène a en effet mené à des interactions fructueuses entre la théorie des groupes et la théorie des modèles. Dans le cadre de la théorie des modèles métriques, introduite par Ben Yaacov, Henson et Usvyatsov, cette correspondance a été étendue par Melleray à tous les groupes polonais. Dans cette thèse, nous étudions diverses facettes de cette correspondance. Le lien entre une structure et son groupe d'automorphismes est particulièrement étroit dans le cadre des structures aleph_0-catégoriques. En effet, le théorème de reconstruction d'Ahlbrandt-Ziegler permet de retrouver une structure aleph_0-catégorique, à bi-interprétabilité près, à partir de son groupe d'automorphismes. Dans un travail en commun avec Itaï Ben Yaacov, nous généralisons ce résultat aux structures métriques séparablement catégoriques.Les structures dénombrables ultrahomogènes ont de plus l'avantage d'être complètement déterminées par leurs sous-structures finiment engendrées. Cela a notamment permis à Moore de donner une caractérisation combinatoire de la moyennabilité des groupes polonais non archimédiens. Nous étendons cette caractérisation à tous les groupes polonais et nous en déduisons que la moyennabilité est une condition G_delta. Toujours dans une optique de reconstruction, nous nous intéressons à la propriété de continuité automatique pour les groupes polonais. Sabok et Malicki ont introduit des conditions de nature combinatoire sur une structure métrique ultrahomogène qui impliquent la propriété de continuité automatique pour son groupe d'automorphismes. Nous montrons que ces conditions passent à la puissance dénombrable, ce qui a pour conséquence que les groupes Aut(mu)^N, U(L^2)^N et Iso(U)^N satisfont la propriété de continuité automatique. Ces conditions sont un affaiblissement du fait d'avoir des amples génériques. Dans un travail en commun avec François Le Maître, nous exhibons les premiers exemples de groupes connexes qui ont des amples génériques, ce qui répond à une question de Kechris et Rosendal. Enfin, dans un travail en commun avec Isabel Müller et Aristotelis Panagiotopoulos, nous étudions l'homogénéité relative des sous-structures dans une structure dénombrable ultrahomogène. Nous caractérisons complètement celle-ci à l'aide d'une propriété sur les types au-dessus des sous-structures : le fait d'être déterminés par un sous-ensemble fini.
Fichier principal
Vignette du fichier
Thèse.pdf (1.35 Mo) Télécharger le fichier
Loading...

Dates et versions

tel-01187190 , version 1 (26-08-2015)

Identifiants

  • HAL Id : tel-01187190 , version 1

Citer

Adriane Kaïchouh. Metric structures and their automorphism groups: reconstruction, homogeneity, amenability and automatic continuity. Mathematics [math]. Université Claude Bernard Lyon 1 - Institut Camille Jordan, 2015. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01187190⟩
195 Consultations
91 Téléchargements

Partager

Gmail Facebook X LinkedIn More