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Thèse Année : 2015

​​​​​Random trees, fires and non-crossing partitions

Arbres aléatoires, feux et partitions non croisées

Résumé

Bäume spielen eine grundlegende Rolle in verschiedenen Bereichen der Mathematik, wie beispielsweise in der Kombinatorik, Graphentheorie, Populationsgenetik oder theoretischen Informatik. Große zufällige Bäume liegen im Kern dieser Dissertation. Im ersten Teil betrachten wir eine Feuerdynamik: mit fortlaufender Zeit entfachen Brände zufällig auf einem Baum und verbreiten sich über die benachbarten brennbaren Kanten; währenddessen werden einige Kanten feuerfest und stoppen die Ausbreitung der nachfolgenden Brände. Wir untersuchen das Verhalten dieser Dynamik, die eng mit der Geometrie der darunterliegenden Graphenstruktur verbunden ist. Wir betrachten zwei verschiedene Modelle von Bäumen: Cayley-Bäume und zufällige rekursive Bäume. Die verwendeten Techniken stehen im Zusammenhang mit den Verfahren von Vernichtung von Bäumen (hierbei werden Kanten sukzessive von dem Baum entfernt) und Fragmentierungstheorie. Im zweiten Teil verwenden wir Bäume (insbesondere Galton-Watson Bäume) als Werkzeuge, um große zufällige kreuzungsfreie Konfigurationen des Kreises zu untersuchen. Letztere wurden bereits in der Kombinatorik studiert und bestehen aus Diagonalen eines regelmä{\ss}igen Polygons, die sich nicht überschneiden. Wir betrachten zwei Fälle: zum einen seien die Zusammenhangskomponenten des Graphen, die durch diese Diagonalen gebildet werden, paarweise disjunkte Polygone (dann wird die Konfiguration als kreuzungsfreie Partition bezeichnet); zum anderen sei dieser Graph ein Baum (und er wird ein kreuzungsfreier Baum genannt). In der Vergangenheit wurden probabilistische Versionen dieser Modelle nur bezüglich der Gleichverteilung untersucht. Wir verallgemeinern diese Modelle mit einem sogenannten „Boltzmann sampling“. In beiden Fällen beobachten wir ein Universalitätsphänomen. Alle großen kreuzungsfreien Partitionen (bzw. kreuzungsfreie Bäume), für die die Verteilung der Größe eines typischen Polygons (bzw. der Grad eines typischen Knotens) im Anziehungsbereich einer stabilen Verteilung liegt, sind sich ähnlich: sie entsprechen entweder einer stabilen Laminierung für kreuzungsfreie Partitionen oder einer stabilen Triangulierung für kreuzungsfreie Bäume.
Trees play a fundamental role in various areas of mathematics such as combinatorics, graph theory, population genetics, and theoretical computer science. In the first part of this thesis, we consider fires on large random trees. We define dynamics where, as time goes by, fires start randomly on a tree and propagate through the neighboring flammable edges, whereas in the meantime, some edges become fireproof and stop the propagation of subsequent fires. We study the effect of such dynamics, which is intimately related to the geometry of the underlying tree, and consider two different models of trees: Cayley trees and random recursive trees. The techniques used are related to the procedure of cutting-down a tree (in which edges are successively removed from the tree) and fragmentation theory. In the second part, we use trees (in particular Galton-Watson trees) as tools to study large random non-crossing configurations of the unit disk. Such configurations consist of a graph formed by non-intersecting diagonals of a regular polygon. We consider two variants: first when the connected components of the graph are pairwise disjoint polygons (the configuration is then called a non-crossing partition), and then when this graph is a tree (it is called a non-crossing tree). These objects have been studied from the perspective of combinatorics and probability but in the past, research has focused on the uniform distribution. We generalize the latter using Boltzmann sampling. In both models, we observe a universality phenomenon: all large non-crossing partitions for which the distribution of the size of a typical polygon belongs to the domain of attraction of a stable law resemble the same random object, namely a stable lamination. A similar result holds for non-crossing trees, for which we construct a novel universal limit that we call a stable triangulation.
Les arbres jouent un rôle fondamental dans de nombreux domaines des mathématiques tels que la combinatoire, la théorie des graphes, la génétique des populations ou encore l'informatique théorique. Dans la première partie de cette thèse, nous considérons une dynamique de feux sur de grands arbres aléatoires : à mesure que le temps passe, des feux démarrent aléatoirement sur un arbre et se propagent à travers les arêtes voisines inflammables, tandis que dans le même temps, des arêtes sont ignifugées aléatoirement pour stopper la propagation des feux. Nous étudions le comportement de cette dynamique, qui est intimement lié à la géométrie de l'arbre sous-jacent. Nous considérons deux modèles d'arbres aléatoires : les arbres de Cayley et les arbres récursifs. Les techniques utilisées sont liées à la procédure de destruction d'un arbre, dans laquelle les arêtes sont successivement retirées, et à la théorie de la fragmentation. Dans une seconde partie, nous utilisons les arbres (en particulier les arbres de Galton--Watson) afin d'étudier de grandes configurations non croisées du disque unité. Ces objets sont des graphes dont les sommets forment un polygone régulier et les arêtes sont des diagonales de ce polygone qui ne se croisent pas. Nous considérons deux types de tels graphes : d'abord les partitions non croisées (lorsque les composantes connexes sont des polygones convexes) puis les arbres non croisés (lorsque le graphe est connexe et sans cycle). Ces objets ont été étudiés du point de vue de la combinatoire principalement et en probabilités, seule la loi uniforme a été considérée. Nous généralisons celle-ci en utilisant une loi ``à la Boltzmann'' ; pour les deux modèles, on observe un phénomène d'universalité : les partitions non croisées pour laquelle la loi de la taille d'une composante connexe typique appartient au domaine d'attraction d'une loi stable convergent en loi vers un ensemble aléatoire appelé lamination stable. Un résultat similaire est obtenu pour les arbres non-croisés, pour lesquels une nouvelle limite universelle est construite.
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Dates et versions

tel-01208179 , version 1 (02-10-2015)

Identifiants

  • HAL Id : tel-01208179 , version 1

Citer

Cyril Marzouk. ​​​​​Random trees, fires and non-crossing partitions. Probability [math.PR]. Universität Zürich - Switzerland, 2015. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01208179⟩

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