Analyse en Composantes Indépendantes Multidimensionnelles via des cumulants d’ordres variés - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2014

Multidimensional independent component analysis with higher-order cumu- lant matrices

Analyse en Composantes Indépendantes Multidimensionnelles via des cumulants d’ordres variés

Résumé

The author deals with the problem of multidimensional independent component analysis (MICA) which is the natural generalization of the ordinary problem of independent component analysis (ICA). First, in order to facilitate the use of higher-order cumulants, we present new formulas for the cumulant matrices of a real random vector from its moment matrices. In addition to the usual matrix operations, these formulas use only the Kronecker product, the vec operator and some commutation matrices. These formulas lend themselves to examine more closely the specific structures of cumulant matrices and provide results on the ranks of these matrices that characterize the dependence between random variables composing the random vector. The main practical interest of our matrix formulas lies in much easier cumulant evaluation and faster computation than the conventional method based on repeated use of the Leonov and Shiryaev formulas. In the second part of this thesis, we show that under the usual assumptions of the independent multidimensional component analysis, contracted cumulant matrices at any statistical order are all block diagonalizable in the same basis. We derive an algorithm for solving MICA by block diagonalization and compare the results obtained to the orders 3-6, between them and with other methods, on several synthetic signals. Simple examples are developed to justify the need to combine different levels to ensure the best separation. We also prove that the easiest case to deal with is the case of mixtures of sources that have different dimensions. In the last part of this thesis we propose a set of methods that operate only the higher- order statistics. Under certain additional assumptions, these methods are shown to completely solve the noisy MICA problem without second-order whitening by joint block diagonalization of a cumulant matrices set coming from statistics of orders strictly higher than four. A comparison with the second-order based whitening MICA methods for the separation of fetal and maternal electrical activities (measured using three electrodes placed on the mother’s abdomen) shows that this new family is better suited to this application : it allow an almost perfect separation of these two contributions.
L’auteur s’intéresse au problème de l’analyse en composantes indépendantes multidimensionnelles (ACIM) qui est la généralisation naturelle du problème ordinaire de l’analyse en composantes indépendantes (ACI). Tout d’abord, afin de faciliter l’utilisation des cumulants des ordres supérieurs, nous présentons de nou- velles formules pour le calcul matriciel des matrices de cumulants d’un vecteur aléatoire réel à partir de ses matrices de moments. Outre les opérations matricielles usuelles, ces formules utilisent uniquement le produit de Kronecker, l’opérateur vec et des matrices de commutation. Nous pouvons immédiatement à partir de ces formules examiner de plus près les structures particulières des matrices de cumulants et ainsi donner des résultats sur les rangs de ces matrices qui caractérisent la dépendance entre les variables aléatoires constituant le vecteur aléatoire. L’intérêt pratique principal de nos formules matricielles réside certainement dans une évaluation des cumulants beaucoup plus aisée et rapide qu’avec la méthode usuelle basée sur une utilisation répétée des formules de Leonov et Shiryaev. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous montrons que sous les hypothèses usuelles de l’analyse en composantes indépendantes mul- tidimensionnelles, les matrices de cumulants contractées à un ordre statistique quelconque sont toutes bloc-diagonalisables dans la même base. Nous en déduisons des algorithmes de résolution d’ACIM par bloc-diagonalisation conjointe et comparons les résultats obtenus aux ordres 3 à 6, entre eux et avec d’autres méthodes, sur quelques signaux synthétiques. Des exemples simples ont élaborés afin de justifier la nécessité de combiner des ordres différents pour garantir la meilleure séparation. Nous prouvons aussi que le cas le plus simple à traiter est celui de mélanges de sources qui ont différentes dimensions. Dans la dernière partie de cette thèse nous proposons une famille de méthodes qui exploitent uniquement les sta- tistiques d’ordres supérieurs à deux. Sous certaines hypothèses supplémentaires, ces méthodes permettent après un blanchiment d’ordre quatre des observations de résoudre complètement le problème ACIM bruité en bloc diagonalisant conjointement un ensemble de matrices de cumulants issues des statistiques d’ordres supérieurs strictement à quatre. Une comparaison avec les méthodes ACIM à blanchiment d’ordre deux pour la séparation des activités électriques foetale et maternelle (mesurées via trois électrodes placées sur l’abdomen de la mère) montre que cette nouvelle famille est mieux adaptée à cette application : elles permettent une séparation quasi parfaite de ces deux contributions.
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Dates et versions

tel-01264163 , version 1 (28-01-2016)

Identifiants

  • HAL Id : tel-01264163 , version 1

Citer

Hanany Ould-Baba. Analyse en Composantes Indépendantes Multidimensionnelles via des cumulants d’ordres variés. Mathématiques [math]. Université de Technologie de Compiègne, 2014. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01264163⟩
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