KLR algebras and quiver Schur algebras
Algèbres KLR et algèbres de carquois-Schur
Résumé
In the first part of the thesis we give a construction of a basis of the positive part f of the
Drinfeld-Jimbo quantum enveloping algebra associated with a Dynkin
quiver. This basis is given in terms of parity sheaves over fields in any characteristic.
We also categorify both the multiplication and the comultiplication of f via complexes of
sheaves.
The second part deals with Koszul duality. Stroppel and Webster have introduced a grading
on the cyclotomic q-Schur algebra S. We prove that the obtained graded algebra is graded
Morita equivalent to a Koszul algebra. The proof is based on a result of Rouquier, Shan,
Varagnolo and Vasserot that identifies the category mod(S) with a subcategory of an affine
parabolic category O of type A. This subcategory admits a Koszul grading constructed by
Shan, Varagnolo and Vasserot. We identify this Koszul grading with the grading on mod(S).
In the third part of the thesis we study a categorical representation in the parabolic category
O for affine gl(N) at level -N-e. This category admits a structure of a categorical
representation of affine sl(e) with respect to some functors E and F. This category contains a
smaller category A that caregorifies the higher level Fock space. We prove that the functor F
for the category A at level -N-e can be decomposed in terms of the components of the
functor F for the category A at level -N-e-1. To prove this, we construct an isomorphism
between the KLR algebra associated with the cyclic quiver with e vertices and a subquotient
of the KLR algebra associated with the cyclic quiver with e+1 vertices.
Dans la première partie de la thèse on construit une base de la partie positive f de l'algèbre
quantique de Drinfeld-Jimbo associée à un carquois de Dynkin. Cette base est donnée par
des faisceaux de parité en caractéristique quelconque. De plus, on catégorifie la
multiplication et la comultiplication dans f avec des complexes de faisceaux.
Dans la deuxième partie il s'agit de la dualité de Koszul. Stroppel et Webster ont introduit
une graduation sur la q-algèbre de Schur cyclotomique S. On démontre que l'algèbre
graduée obtenue est Morita équivalente (au sens gradué) à une algèbre de Koszul. La
preuve est basée sur le résultat de Rouquier, Shan, Varagnolo et Vasserot qui identifie la
catégorie mod(S) avec une catégorie O affine parabolique de type A. Cette catégorie admet
une graduation de Koszul construite par Shan, Varagnolo et Vasserot. On identifie cette
graduation avec la graduation sur mod(S).
Dans la troisième partie de la thèse on étudie une représentation catégorique dans la
catégorie O parabolique pour la version affine de gl(N) de niveau -N-e. Cette catégorie
admet une structure de représentation catégorique de sl(e) affine avec des foncteurs E et F.
Cette catégorie contient une sous-catégorie plus petite A qui catégorifie l'espace de Fock de
niveau supérieur. On démontre que le foncteur F pour la catégorie A de niveau -N-e se
décompose en terme de composantes du foncteur F pour la catégorie A de niveau -N-e-1.
Pour démontrer cela, on construit un isomorphisme entre l'algèbre KLR associée au
carquois cyclique à e points et un sous-quotient de l'algèbre KLR associée au carquois
cyclique à e+1 points.
Loading...