Ergodic geometry and counting functions in infinite measure
Géométrie ergodique et fonctions de comptage en mesure infinie
Résumé
We study here some dynamical properties of manifolds M=X/G, endowed with a pinched negative sectional curvature, where X is a Hadamard manifold and G is its fundamental group acting by isometries. More precisely, we consider divergent Schottky groups G whose Bowen-Margulis measure is infinite on the unit tangent bundle. We first define a coding of the action of G on the boundary of X, which will be useful to build a symbolic space associated with the geodesic flow. Then we precise the rate of mixing of the geodesic flow. In a second part, we study the number of closed geodesics on M with length smaller than R. Finally, we give an asymptotic for the orbital counting.
Cette thèse porte sur l'étude de certaines propriétés dynamiques de variétés M=X/G à courbure sectionnelle négative pincée, où X est une variété de Hadamard et G son groupe fondamental. Nous considérons le cas de certains groupes de Schottky G de type divergent, munis d'une mesure de Bowen-Margulis infinie sur le fibré unitaire tangent de X. Sous ces hypothèses, nous définissons tout d'abord un espace symbolique permettant de coder l'action du groupe G sur le bord de X et celle du flot géodésique sur le fibré unitaire. Ces codages nous permettent dans un premier temps de préciser la vitesse de mélange du flot géodésique ; nous montrons ensuite comment obtenir une minoration du nombre de géodésiques fermées de longueur plus petite que R contenues dans la variété X ; nous donnons enfin un équivalent en l'infini de la fonction orbitale.