Influence du Stochastique sur des Problématiques de Changements d'Échelle - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2016

Stochastic influence on change of scale problems

Influence du Stochastique sur des Problématiques de Changements d'Échelle

Résumé

The work of this thesis belongs to the field of partial differential equations. More specifically, it is linked to the problematic of scale changes in the context of kinetic of gas. Indeed, knowing that there exists different scales of description for a gas (microscopic, mesoscopic and macroscopic scale), we want to link these different associated scales in a context where some randomness acts, in initial data and/or distributed on all the time interval. In a first part, we establish the rigorous derivation of the linear Boltzmann equation without cut- off starting from a particle system interacting via a potential of infinite range, under particular assumptions of decay, starting from a perturbed equilibrium. The second part deals with the passage from a stochastic BGK model with high-field scaling to a scalar conservation law with stochastic forcing. First, we establish the existence of a solution to the considered BGK model. Under an additional assumption, we prove then the convergence to a kinetic formulation associated to the conservation law with stochastic forcing. In the third part, in a first place, we quantify in the case of discrete velocities the defect of regularity associated to the traditional averaging which are considered in the averaging lemmas. Then, we establish a stochastic averaging lemma in that same case. We apply then the result to the context of Rosseland approximation to establish the diffusive limit associated to this model. Finally, in the last part, we are interested into the numerical study of Uchiyama’s model of square particles with four velocities in dimension two. After adapting the methods of simulation which were developed in the case of hard spheres, we carry out a statistical study of the limits at different scales of this model. We reject the hypothesis of a fractional Brownian motion as diffusive limit.
Les travaux de cette thèse s’inscrivent dans le domaine des équations aux dérivées partielles. Plus particulièrement, ils sont liés à la problématique des changements d’échelle dans le contexte de la cinétique des gaz. En effet, sachant qu’il existe plusieurs niveaux de description pour un gaz (échelles microscopique, mésoscopique et macroscopique), on cherche à relier les différentes échelles associées dans un cadre où une part d’aléa intervient, dans les données initiales et/ou réparti sur tout l’intervalle de temps. Dans une première partie, on établit la dérivation rigoureuse de l’équation de Boltzmann linéaire sans cut-off en partant d’un système de particules interagissant via un potentiel à portée infinie, sous des hypothèses particulières de décroissance, en partant d’un équilibre perturbé. La deuxième partie traite du passage d’un modèle BGK stochastique avec champ fort à une loi de conservation scalaire avec forçage stochastique. D’abord, on établit l’existence d’une solution au modèle BGK considéré. Sous une hypothèse additionnelle, on prouve alors la convergence vers une formulation cinétique associée à la loi de conservation avec forçage stochastique. Au cours de la troisième partie, dans un premier temps, on quantifie dans le cas à vitesses discrètes le défaut de régularité associé aux traditionnelles moyennes considérées dans les lemmes de moyenne. Par la suite, on établit un lemme de moyenne stochastique dans ce même cas. On applique alors le résultat au cadre de l’approximation de Rosseland pour établir la limite diffusive associée à ce modèle. Enfin, dans la quatrième et dernière partie, on s’intéresse à l’étude numérique du modèle de Uchiyama de particules carrées à quatre vitesses en dimension deux. Après avoir adapté les méthodes de simulation développées dans le cas des sphères dures, on effectue une étude statistique des limites à différentes échelles de ce modèle. On rejette alors l’hypothèse d’un mouvement Brownien fractionnaire comme limite diffusive.
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Dates et versions

tel-01407438 , version 1 (02-12-2016)

Identifiants

  • HAL Id : tel-01407438 , version 1

Citer

Nathalie Ayi. Influence du Stochastique sur des Problématiques de Changements d'Échelle. Equations aux dérivées partielles [math.AP]. Université Nice Sophia Antipolis [UNS], 2016. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01407438⟩
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