Around planar dimer models: Schur processes and integrable statistical mechanics on isoradial graphs
Autour des modèles de dimères planaires : processus de Schur et mécanique statistique intégrable sur les graphes isoradiaux
Résumé
The dimer model is a probability measure on perfect matchings (or dimer configurations)
on a graph. Dimer models on some subgraphs of the honeycomb and square lattices, which
by duality, correspond to tilings with rhombi and dominos, are directly related to Schur
processes, probability measures on sequences of interlacing partitions. Via bijections
and other combinatorial correspondences, other integrable models of two-dimensional
statistical mechanics can be mapped to planar dimer models: spanning trees, the Ising
model…
This manuscript presents an overview of the results obtained by the author and his
coauthors on questions around planar dimer models, with a strong emphasis, on one
hand, on the relation with Schur processes, and on the other hand, on these models from
statistical mechanics related to dimers, defined on isoradial graphs, a particular class of
embedded planar graphs with interesting properties.
Le modèle de dimères est une mesure de probabilité sur les couplages parfaits (ou
configurations de dimères) d’un graphe. Les modèles de dimères sur certains sous-graphes
du réseau hexagonal ou du réseau carré, qui par dualité, correspondent à des pavages
par losanges ou par dominos, sont directement reliés aux processus de Schur, mesures de
probabilités sur les suites de partitions entrelacées. Par le moyen de bijections et autres
correspondances combinatoires, d’autres modèles intégrables de mécanique statistique
en dimension deux peuvent être étudiés au moyen de modèles de dimères : les arbres
couvrants, le modèle d’Ising…
Ce document présente un survol des résultats obtenus par l’auteur et ses collaborateurs
sur des questions autour du modèle de dimères sur les graphes planaires, avec un accent
d’une part sur la relation avec les processus de Schur, et d’autre part sur ces modèles
de mécanique statistique liés aux dimères, définis sur les graphes isoradiaux, une classe
particulière de graphes planaires plongés aux propriétés intéressantes.
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