Théorème KAM pour l'équation des ondes non-linéaire - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2016

KAM Theorem for the nonlinear wave equation

Théorème KAM pour l'équation des ondes non-linéaire

Résumé

In this PhD thesis we prove a KAM result for the nonlinear wave equation on the circle. The equation will be treated as perturbation of an integrable hamiltonian system. We show that for generic mass, many of the small amplitude invariant finite dimensional tori of the linear equation persist as invariant tori of the linear equation. The proof uses an abstract KAM theorem and a normal Birkhoff form.
Cette thèse a pour objectif de montrer l’existence de trajectoires stables de certains systèmes Hamiltoniens presque intégrables. On établit tout d’abord un résultat de stabilité en dimension finie, puis on l’étend en dimension infinie, et enfin on applique ce dernier résultat à l’équation des ondes non-linéaire sur le cercle. Plus précisément, on montre que proche de l’origine, l’équation des ondes non-linéaire sur le cercle admet des solutions quasi-périodique de faible amplitude, proche de la solution de l’équation linéaire. Dans les variables de Fourier, l’équation apparaît sous la forme d’un système Hamiltonien perturbé en dimension infinie. Le problème ici est que l’Hamiltonien obtenu ne vérifie pas les hypothèses de non résonance du théorème KAM en dimension infinie. Pour pallier à ce problème, on applique une procédure de forme normale de Birkhoff. On obtient par suite une forme normale dont les fréquences satisfont les bonnes hypothèses et dont la partie quadratique admet des valeurs propres doubles. D'où l’intérêt de prendre des valeurs propres multiples dans la partie quadratique de la forme normale du théorème KAM abstrait.
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Dates et versions

tel-01415302 , version 1 (12-12-2016)

Identifiants

  • HAL Id : tel-01415302 , version 1

Citer

Moudhaffar Bouthelja. Théorème KAM pour l'équation des ondes non-linéaire. Equations aux dérivées partielles [math.AP]. Université de Nantes, 2016. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01415302⟩
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