Probabilistic lambda-theories - Archive ouverte HAL Access content directly
Theses Year : 2016

## Lambda-théories probabilistes

Thomas Leventis
• Function : Author
• PersonId : 997423

#### Abstract

The lambda-calculus has been invented in 1936 by Alonzo Church as a way to formalize the notion of computation, and can be seen as an ancestor of today's programming languages. Since then it has been widely used as an abstract tool to study computation and programming. In particular many variants has been defined by adding different features to the original calculus. In this thesis we will be interested in some of these variants obtained by adding a non deterministic operator, and we will focus mostly on a probabilistic calculus. The probabilistic lambda-calculus relies on binary operators +_p for p in [0;1] of probabilistic choice, whose interpretation is that a term M +_p N behaves as M with probability p and as N with probability 1-p. This calculus has been studied for some time, but the probabilistic behaviour has always been treated as a side effect: the operational semantics of the calculus is defined by saying that a term M +_p N actually reduces into M with probability p and it actually reduces into N with probability 1-p. This external treatment of the probabilities has some drawbacks, and in particular it requires the use a particular reduction strategy when reducing terms. Our purpose is to give a more equational representation of this calculus, by handling the probabilities inside the reduction rather than as a side effect. To begin with we give a deterministic and contextual operational semantics for the call-by-name probabilistic lambda-calculus. To express the probabilistic behaviour of the sum we quotient this calculus by equations stating the commutativity, associativity and idempotence of the sum, as well as the irrelevance of the behaviours of probability 0. We show that this quotient has little consequence on the calculus: the reduction modulo equivalence of the terms gives (almost) the same relation as the reduction where only the result is considered modulo equivalence. We also prove a standardization result for this calculus. Then using this operational semantics without side effect we define a notion of equational theories for the probabilistic lambda-calculus. We extend some notions of the deterministic lambda-theories to this setting, and in particular we give a definition for the sensibility of a theory, stating that all diverging terms are equal. This notion is quite simple in a deterministic setting but becomes more complicated when we have a probabilistic computation, and terms may diverge only with a certain probability. Finally we prove a generalization of the equality between the observational equivalence, the Böhm tree equality and the maximal coherent sensible lambda-theory. To achieve this we give a notion of probabilistic Böhm trees generalizing the deterministic ones, and prove that this forms a model of the probabilistic lambda-calculus, i.e. mainly that the equality of Böhm trees is stable under context. Then we prove a separability result stating that two terms with different Böhm trees are separable, i.e. are not observationally equivalent. From there we conclude by proving the correspondence between the probabilistic observational equivalence and the equality of the probabilistic Böhm trees, and that this relation is the maximal consistent sensible probabilistic \lambda-theory.
Le lambda-calcul a été inventé en 1936 par Alonzo Church pour formaliser la notion de calcul, et peut être considéré comme un ancêtre des langages de programmation d'aujourd'hui. Depuis, il a été largement utilisé en tant qu'outil pour étudier le calcul et la programmation. En particulier de nombreuses variantes ont vu le jour via l'ajout de nouvelles fonctionnalités à la structure d'origine. Dans cette thèse nous nous intéresserons à certaines de ces variantes obtenues en considérant un nouvel opérateur non déterministe, et nous nous pencherons plus particulièrement sur le cas probabiliste. Le lambda-calcul probabiliste est basé sur des opérateurs binaires +_p pour p \in [0;1] de choix probabiliste, tels qu'un terme M +_p N se comporte soit comme M avec probabilité p, soit comme N avec probabilité 1-p. Ce calcul a fait l'objet d'études depuis quelques temps, mais toujours en considérant le comportement probabiliste d'un terme comme un effet de bord: la sémantique opérationnelle est définie en disant qu'avec une probabilité p le terme M +_p N se réduit effectivement en M, tandis qu'il se réduit effectivement en N avec une probabilité 1-p. Cette vision des probabilités comme étant externes au calcul lui-même a des inconvénients, et elle impose entre autres de restreindre la réduction par le choix d'une stratégie particulière. Notre objectif est de présenter ce calcul d'une manière plus équationnelle, en intégrant le comportement probabiliste à la réduction sans le voir comme un effet de bord. Tout d'abord nous définissons une sémantique opérationnelle déterministe et contextuelle pour le lambda-calcul probabiliste en appel par nom. Afin de traduire la signification de la somme comme un choix probabiliste nous quotientons ce calcul par des équations exprimant sa commutativité, son associativité et son idempotence, ainsi que l'absence de pertinence des réductions de probabilité nulle. Nous démontrons que ce quotient ne déforme pas la réduction: considérer toute les règles de calcul modulo équivalence revient (presque) à considérer simplement le résultat du calcul modulo équivalence. Nous prouvons également un résultat de standardisation. Au moyen de cette sémantique opérationnelle sans effet de bord nous définissons une notion de théorie équationnelle pour le lambda-calcul probabiliste. Nous étendons les définitions de certaines notions concernant les lambda-théories usuelles, et en particulier celle de bon sens, qui correspond à considérer les termes divergents comme égaux. Cette idée se formalise facilement dans un cadre déterministe mais est bien plus complexe dans le cas probabiliste, où un même terme peut à la fois diverger et converger avec certaines probabilités. Pour finir nous généralisons un résultat affirmant que l'équivalence observationnelle, l'égalité des arbres de Böhm et la théorie cohérente sensée maximale forment une seule et même relation sur les termes. Pour cela nous définissons une notion d'arbres de Böhm probabilistes et nous prouvons qu'elle forme un modèle, c'est-à-dire essentiellement que l'égalité de ces arbres est stable par contexte. Nous démontrons ensuite un résultat de séparabilité disant que deux termes avec des arbres de Böhm distincts ne sont pas observationnellement équivalents. De là nous concluons en montrant que l'égalité des arbres de Böhms probabilistes correspond à l'équivalence observationnelle probabiliste, et que la théorie ainsi obtenue est maximale parmi toutes les théories probabilistes cohérentes sensées.

#### Domains

Mathematics [math] Logic [math.LO]

### Dates and versions

tel-01427279 , version 1 (05-01-2017)
tel-01427279 , version 2 (24-01-2017)

### Identifiers

• HAL Id : tel-01427279 , version 2

### Cite

Thomas Leventis. Probabilistic lambda-theories. Logic [math.LO]. Aix-Marseille Université, 2016. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01427279v2⟩

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