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Theses Year : 2018

Stabilization and spectral asymptotics of the vectorial damped wave equation

Stabilisation et asymptotique spectrale de l'équation des ondes amorties vectorielle

Abstract

In this thesis we study the vectorial damped wave equation on a compact Riemannian manifold with no boundary. The damping term is thus a matrix valued function and the solutions of the equation are vector valued. We first study the problem of stabilization and compute the best exponential decay rate of energy of the solutions of the equation. This result allows us to prove a necessary and sufficient condition for strong stabilization. We also exhibit the apparition of a new phenomenon of high frequency overdamping. We then study the asymptotic repartiton of the eigenfrequencies. We show that, up to a null density subset, all the eigenfrequencies are concentrated in a strip parallel to the imaginary axis. The width of this strip is determined by the Lyapunov exponents of some dynamical system constructed from the damping term of the equation.
Dans cette thèse nous étudions l'équation des ondes amorties vectorielle sur une variété riemannienne compacte et sans bords. Le terme d'amortissement est donc à valeurs matricielles et les solutions de cette équation sont à valeurs vectorielles. Nous étudions dans un premier temps la question de la stabilisation et nous calculons le taux de décroissance exponentiel de l'énergie des solutions de l'équation. Ce résultat nous permet de démontrer une condition nécessaire et suffisante à la stabilisation forte. Nous mettons aussi en évidence l'apparition d'un phénomène de sur-amortissement haute fréquence par rapport à une équation scalaire. Dans un second temps nous regardons la répartition des fréquences propres que l'équation des ondes amorties vectorielle. Nous montrons que, à un sous ensemble de densité nulle près, l'ensemble des fréquences propres se trouve dans une bande parallèle à l'axe imaginaire. La largeur de cette bande est déterminée par les exposants de Lyapunov d'un certain système dynamique définit à partir du coefficient d'amortissement de notre équation.
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Dates and versions

tel-01943093 , version 1 (26-02-2019)
tel-01943093 , version 2 (12-07-2019)

Identifiers

  • HAL Id : tel-01943093 , version 1

Cite

Guillaume Klein. Stabilization and spectral asymptotics of the vectorial damped wave equation. Mathematics [math]. Université de Strasbourg, 2018. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01943093v1⟩
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