Krylov Subspace Methods for Inverse Problems with Application to Image Restoration - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2017

Krylov Subspace Methods for Inverse Problems with Application to Image Restoration

Les sous-espaces de Krylov pour les Problèmes Inverses Linéaires et Application au Traitement d'Image

Résumé

Image restoration often requires the solution of large linear systems of equations with a very ill-conditioned, possibly singular, matrix and an error-contaminated right-hand side. The latter represents the available blur and noise-contaminated image, while the matrix models the blurring. Computation of a meaningful restoration of the available image requires the use of a regularization method. We consider the situation when the blurring matrix has a Kronecker product structure and an estimate of the norm of the desired image is available, and illustrate that efficient restoration of the available image can be achieved by Tikhonov regularization based on the global Lanczos method, and by using the connection of the latter to Gauss-type quadrature rules. We also investigate the use of the global Golub-Kahan bidiagonalization method to reduce the given large problem to a small one. The small problem is solved by employing Tikhonov regularization. A regularization parameter determines the amount of regularization. The connection between global Golub-Kahan bidiagonalization and Gauss-type quadrature rules is exploited to inexpensively compute bounds that are useful for determining the regularization parameter by the discrepancy principle. We will also present an efficient algorithm for solving the Tikhonov regularization problem of a linear system of equations with multiple right-hand sides contaminated by errors. The proposed algorithm is based on the symmetric block Lanczos algorithm, in connection with block Gauss quadrature rules. We will show how this connection is designed to inexpensively determine a value of the regularization parameter when a solution norm constraint is given. Next, we will present four algorithms for the solution of linear discrete ill-posed problems with several right-hand side vectors. These algorithms can be applied, for instance, to multi-channel image restoration when the image degradation model is described by a linear system of equations with multiple right-hand sides that are contaminated by errors. Two of the algorithms are block generalizations of the standard Golub-Kahan bidiagonalization method with the block size equal to the number of channels. One algorithm uses standard Golub-Kahan bidiagonalization without restarts for all right-hand sides. These schemes are compared to standard Golub-Kahan bidiagonalization applied to each right-hand side independently. Tikhonov regularization is used to avoid severe error propagation. Applications include the restoration of color images are given. We will finally give efficient algorithms to solve total variation (TV) regularization of images contaminated by blur and additive noise. The unconstrained structure of the problem suggests that one can solve a constrained optimization by transforming the original unconstrained minimization problem to an equivalent constrained minimization problem. An augmented Lagrangian method is used to handle the constraints, and an alternating direction method (ADM) is used to iteratively find solutions of the subproblems. The solution of these subproblems are belonging to subspaces generated by application of successive orthogonal projections onto a class generalized matrix Krylov subspaces of increasing dimension.
La restauration d’image nécessite souvent la résolution de grands systèmes linéaires d’équations avec matrice très mal conditionnée, peut-être singulière et un second membre contaminé par une erreur. Ce dernier représente l’image disponible contaminée par le flou et le bruit, tandis que la matrice modélise le flou. La restauration d'une image flou et bruitee nécessite souvent l'utilisation d'une méthode de régularisation. Nous considérons la situation lorsque la matrice de flou a une structure de produit Kronecker et une estimation de la norme de la l’image est disponible et on illustre qu’une restauration efficace de l’image peut être achevée en résolvant la régularisation de Tikhonov par la méthode de Lanczos globale et en utilisant la connexion de ces dernières aux règles de quadrature de type Gauss. Nous étudions également l'utilisation de la méthode de bidiagonalisation globale de Golub-Kahan pour réduire le grand problème à un problème de petite taille. Le petit problème est résolu en utilisant la régularisation de Tikhonov. Le lien entre La bidiagonalisation globale de Golub-Kahan et les règles de quadrature de type Gauss sont exploitées de manière moins coûteuse pour calculer les bornes qui sont utiles pour déterminer le paramètre de régularisation par le principe de '' discrepancy''. Nous présenterons également un algorithme efficace pour résoudre le Problème de régularisation de Tikhonov d’un système linéaire d’équations à plusieurs second membre contaminés par des erreurs. L'algorithme proposé est basé sur Lanczos par bloc, en relation avec les règles de quadrature de Gauss par bloc. Nous allons montrer comment cette connexion est conçue pour déterminer une valeur du paramètre de regularisation lorsqu'une contrainte de norme de solution est donnée. Ensuite, nous présenterons quatre algorithmes pour la solution de problèmes linéaires discrets mal posés avec plusieurs second membre. Ces algorithmes peuvent être appliqués, par exemple, à la restauration d’images multicanaux lorsque le modèle de dégradation d'image est décrit par un système linéaire d'équations à plusieurs second membre contaminés par des erreurs. Deux des algorithmes sont des généralisations en bloc de la méthode standard de bidiagonalisation de Golub-Kahan avec la taille du bloc égal au nombre de canaux. Un algorithme utilise la bidiagonalisation standard de Golub-Kahan sans redémarrage pour tous les second membres. Ces régimes sont comparés au Golub-Kahan standard qui s’applique indépendamment à chaque second membre. La régularisation de Tikhonov est utilisée pour éviter une propagation d'erreur grave. Les applications incluent la restauration des images en couleur sont données. Nous allons enfin donner des algorithmes efficaces pour résoudre la régularisation par variation total (Total Variation TV) d’images contaminées par le flou et le bruit additif et multiplicatif. La structure non contrainte du problème suggère que l'on peut résoudre une optimisation sous contrainte en transformant le problème initial de minimisation sans contrainte en un problème de minimisation équivalent sous contrainte. Une méthode de lagrangienne augmentée est utilisée pour traiter les contraintes, et une méthode de direction alternative (ADM) est utilisée pour trouver de manière itérative des solutions des sous-problèmes. La solution de ces sous-problèmes appartient aux sous-espaces générés par application de projections orthogonales successives sur une classe généralisée de sous-espaces de Krylov.  
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tel-01969339 , version 1 (25-01-2019)

Identifiants

  • HAL Id : tel-01969339 , version 1

Citer

Mohamed El Guide. Krylov Subspace Methods for Inverse Problems with Application to Image Restoration. Mathematics [math]. Université Cadi Ayyad, Marrakech, 2017. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01969339⟩

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