Algorithmes hybrides et adaptatifs en algèbre linéaire exacte
Hybrid and adaptive algorithms in exact linear algebra
Résumé
In recent years, considerable progress has been made in exact linear
algebra which offered us a significant number of different algorithms
for each problem. This dissertation explores adaptive algorithms as a
means to get effective solutions. As a result, we obtain very fast
solutions in practice, the average complexity of which is comparable
to the state of the art.
In this thesis we consider the modeling and the use of adaptive
algorithms on the example of the computation of the integer
determinant, of rational algorithms and of the Smith normal form.
As a measure of the performance of adaptive algorithms, we propose the
expected complexity and validate our conclusions with an
experimental evaluation.
To build an adaptive algorithm, we use discovered characteristics of
matrices and the explicit comparison of partial computation times. Our
algorithms are based on the Chinese Remaindering algorithm with full
and rational reconstruction and preconditioning. Our goal is to exploit
the early termination condition faster than other algorithms.
To improve the algorithms, we can also use heuristics. In this thesis
we propose a heuristic scheme for calculating the Smith normal form of
an exact sequence of matrices. Instead of treating each matrix
separately, we show that the elimination of a row or column of matrix
causes reductions in the neighboring matrices. Thus, we succeeded in
computing some Smith forms for whole sequences, despite the fact that
it was not possible for any of the larger matrices taken separately.
Ces dernières années un progrès considérable a eu lieu en algèbre
linéaire exacte qui nous offert un nombre significatif d'algorithmes
différents pour chaque problème. Cette dissertation explore les
algorithmes adaptatifs comme un moyen d'obtenir des solutions
efficaces. En conséquence, nous obtenons des solutions très rapides en
pratique, dont la complexité moyenne est comparable à l'état de
l'art.
Dans cette thèse nous considérons la modélisation et l'utilisation
d'algorithmes adaptatifs sur l'exemple de calcul de déterminant
entier, des algorithmes rationnels et du calcul de la forme normale de
Smith. Comme mesure de performance des algorithmes adaptatifs, nous
proposons la notation de complexité espérée et validons notre
conclusions par une évaluation expérimentale. Pour construire un
algorithme adaptatif, nous utilisons des caractéristiques des matrices
automatiquement découvertes et la comparaison explicite de temps de
calcul partiels. Nos algorithmes reposent sur l'algorithme de restes
chinoises avec la reconstruction entière et rationnelle et sur le
préconditionnement. Notre objectif est de tirer parti la condition de
terminaison anticipée plus rapidement que pour les autres
algorithmes.
Pour améliorer les algorithmes, nous pouvons aussi utiliser des
heuristiques. Dans cette thèse nous proposons un schéma heuristique
pour le calcul de la forme de Smith d'une séquence exacte de
matrices. Au lieu de traiter chaque matrice séparément, nous montrons
que l'élimination d'une ligne ou d'une colonne de matrice provoque des
réductions dans les matrices voisines. Ainsi, nous avons réussi à
calculer les formes de Smith pour des séquences entières, malgré le
fait que ce n'était pas possible pour aucune des plus grandes matrices
prises séparément.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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