Algorithmes hybrides et adaptatifs en algèbre linéaire exacte - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2010

Algorithmes hybrides et adaptatifs en algèbre linéaire exacte

Hybrid and adaptive algorithms in exact linear algebra

Résumé

In recent years, considerable progress has been made in exact linear algebra which offered us a significant number of different algorithms for each problem. This dissertation explores adaptive algorithms as a means to get effective solutions. As a result, we obtain very fast solutions in practice, the average complexity of which is comparable to the state of the art. In this thesis we consider the modeling and the use of adaptive algorithms on the example of the computation of the integer determinant, of rational algorithms and of the Smith normal form. As a measure of the performance of adaptive algorithms, we propose the expected complexity and validate our conclusions with an experimental evaluation. To build an adaptive algorithm, we use discovered characteristics of matrices and the explicit comparison of partial computation times. Our algorithms are based on the Chinese Remaindering algorithm with full and rational reconstruction and preconditioning. Our goal is to exploit the early termination condition faster than other algorithms. To improve the algorithms, we can also use heuristics. In this thesis we propose a heuristic scheme for calculating the Smith normal form of an exact sequence of matrices. Instead of treating each matrix separately, we show that the elimination of a row or column of matrix causes reductions in the neighboring matrices. Thus, we succeeded in computing some Smith forms for whole sequences, despite the fact that it was not possible for any of the larger matrices taken separately.
Ces dernières années un progrès considérable a eu lieu en algèbre linéaire exacte qui nous offert un nombre significatif d'algorithmes différents pour chaque problème. Cette dissertation explore les algorithmes adaptatifs comme un moyen d'obtenir des solutions efficaces. En conséquence, nous obtenons des solutions très rapides en pratique, dont la complexité moyenne est comparable à l'état de l'art. Dans cette thèse nous considérons la modélisation et l'utilisation d'algorithmes adaptatifs sur l'exemple de calcul de déterminant entier, des algorithmes rationnels et du calcul de la forme normale de Smith. Comme mesure de performance des algorithmes adaptatifs, nous proposons la notation de complexité espérée et validons notre conclusions par une évaluation expérimentale. Pour construire un algorithme adaptatif, nous utilisons des caractéristiques des matrices automatiquement découvertes et la comparaison explicite de temps de calcul partiels. Nos algorithmes reposent sur l'algorithme de restes chinoises avec la reconstruction entière et rationnelle et sur le préconditionnement. Notre objectif est de tirer parti la condition de terminaison anticipée plus rapidement que pour les autres algorithmes. Pour améliorer les algorithmes, nous pouvons aussi utiliser des heuristiques. Dans cette thèse nous proposons un schéma heuristique pour le calcul de la forme de Smith d'une séquence exacte de matrices. Au lieu de traiter chaque matrice séparément, nous montrons que l'élimination d'une ligne ou d'une colonne de matrice provoque des réductions dans les matrices voisines. Ainsi, nous avons réussi à calculer les formes de Smith pour des séquences entières, malgré le fait que ce n'était pas possible pour aucune des plus grandes matrices prises séparément.
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tel-02143044 , version 1 (29-05-2019)

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  • HAL Id : tel-02143044 , version 1

Citer

Anna Urbanska-Marszałek. Algorithmes hybrides et adaptatifs en algèbre linéaire exacte. Symbolic Computation [cs.SC]. Grenoble University, 2010. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-02143044⟩
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