On some nonlinear elliptic problems
Sur quelques problèmes elliptiques non linéaires
Résumé
This thesis concerns some nonlinear elliptic problems which have variational structure.
In the first part we study the scalar curvature type problem in bounded domain in dimension 3 :
(P) -∆u = K u^5 in Ω; u= 0 on ∂Ω.
Perturbing the initial problem by subcritical one $(P_\epsilon)$ and combining the blow up analysis and some ideas of O. Rey, we prove that the blow up points of solutions have to be in a compact set of $\Omega$. Furthermore we characterize the blow up profile of the solutions $u_\epsilon$ and we compute their Morse index. Finally, using Topological argument and Morse theory, we prove an existence result as Bahri-Coron result in the sphere $S^3$.
The second part concerns the relation between $L^\infty$ norm and the Morse index of the solutions of the following problem:
(P) ∆u = 0 in Ω; ∂u /∂ν = f(x, u) on ∂Ω
We prove that $L^\infty$ bounds of solutions are equivalent to bounds on their Morse indices.
This result is similar to that of A. Bahri and P.L. Lions. To prove the a priori
estimate, we use a blow-up argument which leads to deal with the nonexistence of
solution with finite Morse index for elliptic equation with nonlinear Neumann boundary value conditions.
Cette thèse comporte deux problèmes elliptiques non linéaires présentant une structure variationnelle.
Dans le premier, on étudie un problème de type courbure scalaire dans un domaine borné et régulier de $R^3$ :
(P) -∆u = K u^5 dans Ω; u= 0 sur ∂Ω
Perturbant le problème initial par un problème sous-critique $ (P_\epsilon) $ et en combinant l'analyse de de "blow up" avec des idées de O. Rey, on prouve que les points d'explosion des solutions sont à l'intérieur du domaine $ \Omega $. De plus, nous caractérisons le profil d’explosion des solutions $u_\epsilon$ et nous calculons leurs indices de Morse. Enfin, en utilisant un argument topologique et la théorie de Morse, nous prouvons un résultat d’existence analogue à celui de Bahri-Coron concernant la sphère $S^3$.
Le deuxième problème consiste à regarder des fonctions harmoniques dans des domaines bornés et réguliers de $R^n$, $n \geq 2$ de type :
(P) ∆u = 0 dans Ω; ∂u /∂ν = f(x, u) sur ∂Ω
sous certaines conditions sur $ f$. L'objectif est de prouver que : toute suite de solutions de $(P)$ est $L^\infty$ bornée ssi la suite de ses indices de Morse est bornée. La preuve est basée sur les phénomènes de "blow up" combinées avec un argument de "bootstrap" utilisé par A.
Bahri et P. L. Lions. Ce problème mène à un autre de type Liouville sur le demi espace $R^n_+$ qu'on a résolu.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)