Représentations distinguées et conjecture de Prasad et Takloo-Bighash - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2019

Distinguished representations and conjecture of Prasad and Takloo-Bighash

Représentations distinguées et conjecture de Prasad et Takloo-Bighash

Résumé

The framework of Marion Chommaux's PhD thesis is a very active and requiring area of representation theory of p-adic groups, called the "local Langlands program''. A highly investigated branch of this program is the ``relative Langlands program'', of which one of the key players is Dipendra Prasad. Together with Takloo-Bighash, he proposed in 2011 a conjecture concerning distinction of discrete series of inner forms of p-adic general linear groups, with respect to the centralizer of the invertibles of a quadratic extension of the base field: this conjecture is in terms of subtle Galois invariants. In her doctoral work, Marion completeley solves this conjecture in the case of Steinberg representations, and proves it for level zero cuspidal representations of split inner forms. In this latter case, it is remarkable that she obtains a counter-example to a more general version of the conjecture. The techniques employed are diverse. In the first chapter on Steinberg representations, the main tool is the Bernstein-Zelevinsky geometric lemma, but some analytical invariants such as L-functions also play a role. In the second chapter the essential ingredients are Bushnell-Kutzko's type theory (more precisely the admissible pairs of Bushnell-Henniart) and the geometry of the Bruhat-Tits building. Once the classification of level zero cuspidal representations is obtained, Marion skilfully reduces the verification of the conjecture to a result of Fröhlich and Queyrut on the Galois side.
La thèse de Marion Chommaux a pour cadre le « programme de Langlands local », un domaine particulièrement actif et exigeant de la théorie des représentations des groupes p-adiques. Une branche en plein développement en est le « programme de Langlands relatif' », dont une des figures majeures est Dipendra Prasad. Ce dernier a proposé avec Takloo-Bighash en 2011 une conjecture concernant la distinction des séries discrètes des formes intérieures d'un groupe linéaire général sur un corps p-adique par le centralisateur des inversibles d'une extension quadratique de ce corps: la conjecture s'énonce en termes d'invariants galoisiens subtils. Dans sa thèse Marion résout complétement cette conjecture pour les représentations de Steinberg, et elle la démontre pour les cuspidales de niveau zéro dans le cas non-déployé. Dans ce cas un résultat notable est qu'elle obtient même un contre-exemple à une forme plus générale de la conjecture en question. Les techniques utilisées sont diverses. Dans le premier chapitre sur les représentations de Steinberg, c'est le lemme géométrique de Bernstein-Zelevinsky qui joue un rôle prépondérant dans le résultat de classification, mais des invariants analytiques tels que les fonctions L font leur apparition. Dans le second chapitre il s'agit de la théorie des types de Bushnell-Kutzko (plus précisément celle des paires admissibles de Bushnell-Henniart) ainsi que la géométrie de l'immeuble de Bruhat-Tits qui sont les éléments essentiels en théorie des représentations. Une fois la classification des cuspidales de niveau zéro distinguées obtenue, Marion réduit habilement la vérification de la conjecture du côté galoisien à un résultat de Fröhlich et Queyrut.
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  • HAL Id : tel-02529153 , version 1

Citer

Marion Chommaux. Représentations distinguées et conjecture de Prasad et Takloo-Bighash. Théorie des groupes [math.GR]. Université de Poitiers, 2019. Français. ⟨NNT : 2019POIT2287⟩. ⟨tel-02529153⟩
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