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Thèse Année : 2020

Some Aspects Of Representation Theory Of Walled Brauer Algebras

Quelques aspects de la théorie des répresentations des algèbres de Brauer mure

Résumé

The dissertation covers some aspects of representation theory of the walled Brauer algebra and its quantum analogue. The walled Brauer algebra is an associative unital algebra. It is a diagram algebra spanned by particular ‘walled’ diagrams. This algebra can be defined in terms of generators, obeying certain relations. In the first chapter of the dissertation, we construct the normal form of the walled Brauer algebra - a set of basis monomials (words) in generators. To construct the normal form we introduce an `ordered' modification of the so-called Bergman's diamond lemma, namely, we present a set of rules which, being applied in a certain order, allows to reduce any monomial in generators to an element from the normal form. We then apply the normal form to calculate the generating function for the numbers of words with a given minimal length. A fusion procedure gives a construction of the maximal family of pairwise orthogonal minimal idempotents in algebra, and therefore, provides a way to understand bases in the irreducible representations. We construct the fusion procedure for the walled Brauer algebra and show that all primitive idempotents can be found by evaluating a rational function in several variables.  In the second chapter, we study the mixed tensor product of three-dimensional fundamental representations of the Hopf algebra $U_q sl(2|1)$. One of the main results consists in the establishing of the explicit formulae for the decomposition of tensor products of any simple or any projective $U_q sl(2|1)$-module with the generating modules. Another important outcome consists in decomposing the mixed tensor product as a bimodule.
La thèse couvre certains aspects de la théorie des représentations de l’algèbre de Brauer murée et son analogue quantique. L'algèbre de Brauer murée est une algèbre unitaire associative. Il s’agit d’une algèbre de diagramme engendré par des diagrammes «murés» particuliers. Cette algèbre peut être définie par des générateurs et des rélations. Dans le premier chapitre de la thèse, nous construisons la forme normale de l'algèbre de Brauer murée - un ensemble de monômes de base (mots) dans les générateurs. Pour construire l'ensemble, nous introduisons une modification «ordonnée» du fameux lemme du diamant de Bergman, à savoir, nous présentons un ensemble de règles qui, étant appliquées dans un certain ordre, permet de réduire tout monôme dans les générateurs à un élément de la forme normale. Nous appliquons ensuite la forme normale pour calculer la fonction génératrice du nombre de mots avec une longueur minimale donnée. Une procédure de fusion donne une construction de la famille maximale d'idempotents orthogonaux minimaux par paire dans l'algèbre, et par conséquent, fournit un moyen de comprendre les bases dans les représentations irréductibles. Nous construisons la procédure de fusion pour l'algèbre de Brauer murée et montrons que tous les idempotents primitifs est trouvés par les évaluations consécutives une fonction rationnelle en plusieurs variables. Dans le deuxième chapitre, nous étudions le produit tensoriel mixte des représentations fondamentales tridimensionnelles de l'algèbre de Hopf $U_q sl(2|1)$. L'un des principaux résultats consiste à établir les formules explicites de décomposition des produits tenseurs de tout $U_q sl(2|1)$-module simple ou projectif avec les modules générateurs. Un autre résultat important consiste à décomposer le produit tensoriel mixte en un bimodule.
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tel-02554375 , version 1 (25-04-2020)

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  • HAL Id : tel-02554375 , version 1

Citer

Daria V. Bulgakova. Some Aspects Of Representation Theory Of Walled Brauer Algebras. Representation Theory [math.RT]. Aix Marseille Université, 2020. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-02554375⟩
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