Homéomorphismes quasiconformes extrémaux et différentielles quadratiques en géométrie CR sphérique - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2018

Extremal quasiconformal maps and quadratic differentials in spherical CR geometry

Homéomorphismes quasiconformes extrémaux et différentielles quadratiques en géométrie CR sphérique

Résumé

In this thesis, we are interested in the idea of Teichmüller homeomorphisms in the setting of 3-dimensional spherical CR geometry. We then consider two approaches of it. The first one is about quasiconformal mappings which have extremal properties. In this direction, we construct explicitly and prove uniqueness (up to composition with a rotation around the vertical axis) of a minimizer of a mean distortion between cylinders in the Heisenberg group. After that, we extend those results to lifts, by a natural projection in the upper half-plane, of quadrilaterals. We also prove a general result about lifting quasiconformal from the upper half-plane to the Heisenberg group. The second approach is the one of quasiconformal mappings which dilate hori- zontal trajectories of CR quadratic differentials. For that, we need to define what are CR quadratic differentials. We manage to do it by considering a decomposition of Rumin complex on spherical CR manifolds. Finally, we give several examples of quasiconformal mappings which dilate (horizontal and/or vertical) trajectories of CR quadratic differentials. In particular, we will see that, under certain conditions, there is at most a two-parameters family of quasiconformal mappings which dilate horizontal trajectories of quadratic differentials.
Dans cette thèse, on s’intéresse à l’idée d’homéomorphismes de Teichmüller dans le cadre de la géométrie CR sphérique de dimension 3. On en considère alors deux approches. La première est celle d’homéomorphismes quasiconformes avec des propriétés extrémales. Dans cette direction, on construit explicitement et on prouve l’unicité (à composition avec une rotation autour de l’axe vertical près) d’un minimiseur d’une distortion moyenne entre cylindres du groupe de Heisenberg. On étend par la suite ces résultats aux relevés, par une projection naturelle dans le demi-plan supérieur, de quadrilatères. On montre également un résultat général de relèvement d’homéomorphismes quasiconformes du demi-plan supérieur sur le groupe de Heisenberg. La seconde approche est celle d’homéomorphismes quasiconformes qui dilatent les trajectoires horizontales d’une différentielle quadratique CR. On parvient à la notion de différentielles quadratiques CR en étudiant une décomposition du complexe de Rumin sur les variétés CR sphériques. On termine par des exemples d’homéomorphismes quasiconformes qui dilatent les trajectoires (horizontales et/ou verticales) de différentielles quadratiques CR. En particulier, on verra que, sous certaines conditions, il existe au plus une famille à deux paramètres d’homéomorphismes quasiconformes qui dilatent les trajectoires horizontales de différentielles quadratiques CR.
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Dates et versions

tel-02900783 , version 1 (16-07-2020)

Identifiants

  • HAL Id : tel-02900783 , version 1

Citer

Robin Timsit. Homéomorphismes quasiconformes extrémaux et différentielles quadratiques en géométrie CR sphérique. Géométrie différentielle [math.DG]. Sorbonne Université, 2018. Français. ⟨NNT : 2018SORUS602⟩. ⟨tel-02900783⟩
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