Études probabiliste et analytique d'une classe de fonctionnelles rattachées à la primitive du mouvement brownien - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Hdr Année : 1995

Probabilistic and analytical studies of a class of functionals related to the primitive of Brownian motion

Études probabiliste et analytique d'une classe de fonctionnelles rattachées à la primitive du mouvement brownien

Résumé

The whole of our work is primarily devoted to the study of the primitive of Brownian motion; more particularly it deals with the explicit determination of the probability distributions of various functionals associated with this process. The motivations and the historical context of this study, which begins mainly with a work by P. Langevin, H.P. McKean and M. Kac, are described in detail in the introduction of our PhD. thesis. The starting point of our study was the explicit determination of the law of the first passage time τ_a for the integral of Brownian motion (X(t),t≥0) through a fixed threshold a, coupled with the related location of Brownian motion (B(t),t≥0), when the two-dimensional Markovian process ((X(t),B(t)),t≥0) starts at a point (x,y)∈R². This result, which solved an open problem posed in the paper by H.P. McKean “A winding problem for a resonator driven by a white noise”, going back to 1963, allowed to resolve many questions and played a determining role in our forthcoming researches. To quote a significant example, the knowledge of the joint distribution of the couple (τ_a,B(τ_a)) led us to that of the last hitting time τ−_{a,T} of the point a by the process (X(t),t≥0), before a fixed instant T. Consequently, the explicit expression of this last law made it possible to describe its asymptotic behavior as T tends to zero. This estimate, in particular, was exploited by S. Aspandiiarov and J.-F. Gall in a work related to the study of Burgers' equation. In addition, we carried out a thorough study of various excursions of the process ((X(t),B(t)),t≥0), having always for objective the exact and explicit determination of the law of certain functionals. By invoking the general theory of the excursions of a Markov process, we have been able to derive for example the law of the quadruple [τ−_{a,T},B(τ−_{a,T}),τ+_{a,T},B(τ+_{a,T})] made up of the last and first passage times of a respectively posterior and former to deterministic instant T, and of the related locations of Brownian motion. By a Markovian technique, we had before obtained from them only some marginal laws. A research related to the area of a loop of excursion associated with the process ((X(t),B(t)),t≥0) then led us to the primitive of Ornstein-Uhlenbeck process, for which we also derived some related distributions. More generally, the excursions of the integral of Brownian motion away of a point a (without temporal restriction now) involve the sequence of successive passage times (t_n,n≥1) through a point a by the process (X(t),t≥0). This sequence of excursions is very different from the Brownian excursions, this latter case for which such a sequence cannot be defined because of the irregularity of Brownian paths. By using the Kontorovich-Lebedev transform, we have been able to obtain for the joint law of the couple ((t_n,B(t_n)),n≥1) a simple formula requiring no multiple integral. Various problems remain currently unsolved. In particular: the law of the first exit time from a bounded interval [a,b] by the primitive of Brownian motion remains unknown; the distribution of the sojourn time in [a,b] by (X(t),t≥0) is still not clarified. Other questions, of geometrical nature, also arise: do the trajectories of the two-dimensional process ((X(t),B(t)),t≥0) have multiple points? Is it possible to characterize the polar sets for this process? Which is the exact Hausdorff measure of the curve t↦(X(t),B(t))?
L'ensemble de nos travaux est essentiellement consacré à l'étude de la primitive du mouvement brownien ; plus particulièrement il est orienté vers la détermination explicite des distributions de probabilité de diverses fonctionnelles associées à ce processus. Les motivations et le contexte historique de cette étude, qui débute principalement avec les travaux de P. Langevin, H.P. McKean et M. Kac sont décrits en détail dans le chapitre d'introduction de notre thèse de Doctorat. Le point de départ de notre étude fut la détermination explicite de la loi du premier instant de passage τ_a de l'intégrale du mouvement brownien (X(t),t≥0) par un seuil fixé a, couplé avec la position du mouvement brownien (B(t),t≥0) à cet instant, lorsque le processus markovien bidimensionnel ((X(t),B(t)),t≥0) démarre d'un point quelconque (x,y)∈R². Ce résultat qui résolvait un problème ouvert posé dans l'article A winding problem for a resonator driven by a white noise, datant de 1963, de H.P. McKean a permis de débloquer de nombreuses questions et a joué un rôle déterminant dans la suite de notre recherche. Pour citer un exemple significatif, la connaissance de la distribution conjointe du couple (τ_a,B(τ_a)) nous a conduit à celle du dernier temps τ−_{a,T} d'atteinte du point a par le processus (X(t),t≥0), avant un instant fixé T. Dès lors, l'écriture explicite de cette dernière loi permet d'en décrire le comportement asymptotique lorsque T tend vers zéro. Cette estimation a été, en particulier, exploitée par S. Aspandiiarov et J.-F. Le Gall au cours d'un travail en liaison avec l'étude de l'équation de Burgers. Par ailleurs, nous avons engagé une étude approfondie de diverses excursions du processus ((X(t),B(t)),t≥0), ayant toujours pour objectif la détermination exacte et explicite de la loi de certaines fonctionnelles. En faisant appel à la théorie générale des excursions d'un processus de Markov, nous avons pu exhiber par exemple la loi du quadruplet [τ−_{a,T},B(τ−_{a,T}),τ+_{a,T},B(τ+_{a,T})] constitué des dernier et premier temps de passage par le seuil a respectivement postérieur et antérieur à l'instant déterministe T, et des positions relatives du mouvement brownien. Nous en avions auparavant obtenu par une technique markovienne seulement quelques lois marginales. Une recherche portant sur l'aire d'une boucle d'excursion associée au processus ((X(t),B(t)),t≥0) nous a ensuite confrontés à la primitive du processus d'Ornstein-Uhlenbeck, dont nous avons également explicité quelques distributions afférentes. Plus généralement, les excursions de l'intégrale du mouvement brownien hors d'un point a (sans restriction temporelle à présent) font apparaître la suite des temps de visite successifs (t_n,n≥1) du point a par le processus (X(t),t≥0). Cette suite présente un comportement très différent de celui qui caractérise les excursions browniennes, cas pour lequel une telle suite ne peut être définie en vertu de l'irrégularité des trajectoires browniennes. En faisant appel à la transformation de Kontorovich-Lebedev nous avons pu obtenir pour la loi conjointe du couple ((t_n,B(t_n)),n≥1) une formule simple ne requérant pas l'usage des intégrales multiples. Divers problèmes demeurent actuellement non résolus. Notamment: la loi de probabilité du premier instant de sortie d'un intervalle borné [a,b] de R par la primitive du mouvement brownien reste inconnue; la distribution du temps séjourné dans [a,b] par (X(t),t≥0) n'est toujours pas explicitée. D'autres questions, de nature géométrique, se posent également : les trajectoires du processus bidimensionnel ((X(t),B(t)),t≥0) comportent-elles des points multiples ? est-il possible de caractériser les ensembles polaires pour ce processus ? Quelle est l'exacte mesure de Hausdorff de la courbe t↦(X(t),B(t)) ?
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  • HAL Id : tel-02924277 , version 1

Citer

Aimé Lachal. Études probabiliste et analytique d'une classe de fonctionnelles rattachées à la primitive du mouvement brownien. Probabilités [math.PR]. Université Lyon 1 - Claude Bernard, 1995. ⟨tel-02924277⟩
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