Opetopes: Syntactic and Algebraic Aspects - TEL - Thèses en ligne Access content directly
Theses Year : 2020

Opetopes: Syntactic and Algebraic Aspects

Opétopes : Aspects Syntaxiques et Algébriques

Abstract

Opetopes are shapes (akin to globules, cubes, simplices, dendrices, etc.) introduced by Baez and Dolan to describe laws and coherence cells in higher-dimensional categories. In a nutshell, they are trees of trees of trees of trees of... These shapes are attractive because of their simple nature and easy to find ``in nature'', but their highly inductive definition makes them difficult to manipulate efficiently. This thesis develops the theory of opetopes along three main axes. First, we give it clean and robust foundations by carefully detailing the approach of Kock-Joyal-Batanin-Mascari, based on polynomial monads and trees. Starting with the identity functor on sets, and repeatedly applying the Baez-Dolan construction, we obtain a sequence of polynomial monads whose operations are trees over previous monads. This process generates opetopes and captures their recursive nature. We then introduce the important formalism of higher addresses, which allows to ``walk'' through opetopes and all their lower-dimensional faces simultaneously, in order to reach a given node or edge. This allows a more thorough investigation of the structure of the generating polynomial monads, and gives us important insights on the tree calculi they encode, in this case the natural operations on opetopes, such as grafting and substitution. The second part of this thesis deals with computerized manipulation of opetopes. We introduce two syntactical approaches to opetopes and opetopic sets. In each, opetopes are represented as syntactical constructs whose well-formation conditions are enforced by corresponding sequent calculi. In the first one, called the named approach, we express the compositional nature of opetopes using a specifically crafted kind of term. In the second, called unnamed approach, we just give a syntactical account of the tree structure of opetopes using higher addresses. This latter approach is closer to the definition of the first part of this thesis, whereas the former is more human-friendly. Lastly, in the third part of this thesis, we focus on the algebraic structures that can naturally be described by opetopes. So-called opetopic algebras include categories, planar operads, and Loday's combinads over planar trees. We start by extending the generating polynomial monads to categories of truncated opetopic sets, and let opetopic algebras be simply algebras over these extensions. Later, we introduce the category of opetopic shapes, and using the theory of parametric right adjoint monads of Weber, we show that opetopic algebras can also be understood as presheaves over opetopic shapes having the unique lifting property against a certain set of maps. We then turn our attention to the notion of weak opetopic algebras and their homotopy theory. Following the literature in the simplicial and dendroidal cases, we introduce three models: ∞-opetopic algebras, complete Segal spaces, and homotopy-coherent opetopic algebras. We show that classical results of Rezk, Joyal-Tierney, and Horel (for ∞-categories), and Cisinski-Moerdijk (for ∞-operads) can be reformulated and generalized in our setting. In particular, these models are equivalent.
Les opétopes sont des formes (tout comme les globes, les cubes, les simplex, les dendrex, etc.) inventées par Baez et Dolan afin de pouvoir décrire les cellules de cohérence des catégories supérieures faibles. Informellement, ce sont des arbres d'arbres d'arbres d'arbres... Ces formes sont séduisantes car elles sont intrinsèquement simples et apparaissent fréquemment en pratique. Cependant, leur nature inductive les rend difficile à manipuler efficacement. Cette thèse développe la théorie des opétopes selon trois axes. Premièrement, nous formulons une définition propre et robuste, en suivant minutieusement l'approche de Kock-Joyal-Batanin-Mascari, basée sur la théorie des monades et des arbres polynomiaux. En itérant la construction de Baez-Dolan sur le foncteur identité sur la catégorie des ensembles, nous obtenons une suite de monades polynomiales, et leurs opérations sont des arbres sur des monades précédentes. Ce processus génère les opétopes et cerne leur structure récursive. Ensuite, nous présentons la notion d'adresse supérieure, qui nous permettent de « naviguer » dans les opétopes et leurs faces afin d'atteindre un noeud ou une arrête donné. Ce formalisme permet une étude plus poussée de la structure des monades polynomiales et des opérations sur les arbres qu'elles encapsulent. Dans notre cas, il s'agit des opérations naturelles sur les opétopes, par exemple les greffes et les substitutions. Ensuite, nous introduisons deux systèmes syntaxiques pour décrire les opétopes et les ensembles opétopiques, avec pour objectif leur implémentation informatique. Dans chacune de ces deux approches, les opétopes sont encodés par des expressions dont la validité est assurée par des calculs des séquents correspondants. Dans la première, appelée approche nommée, nous décrivons la structure compositionnelle des opétopes en utilisant un certain type de terme. La seconde, appelée approche anonyme, se concentre sur une représentation syntaxique simple des arbres sous jacents aux opétopes. Bien que plus proche de la définition polynomiale, sa syntaxe est moins facile à lire que celle de l'approche nommée. Enfin, dans la dernière partie de cette thèse, nous étudions les structures algébriques que les opétopes décrivent. Ces structures, que nous appelons algèbres opétopiques, généralisent les catégories, les opérades planaires, et les combinades des arbres planaires de Loday. Nous commençons pas étendre les monades génératrices à des catégories d'ensemble opétopiques tronqués, de sorte à ce que les algèbres opétopiques ne soient simplement que des algèbres sur ces extensions. Nous introduisons la catégories des formes opétopiques, et en mettant à contribution la théorie des adjoints à droite paramétriques de Weber, nous montrons que les algèbres opétopiques peuvent se comprendre comme des préfaisceaux satisfaisant certaines conditions de relèvement unique. Nous nous intéressons ensuite à la notion l'algèbre faible. En se basant sur les théories existantes dans le cas simplicial et dendroïdal, nous en donnons trois interprétations: les ∞-algèbres opétopiques, les espaces de Segal complets, et les algèbres opétopiques à homotopies cohérentes près. Nous montrons que certains résultats classiques de Rezk, Joyal-Tierney, et Horel (pour les ∞-catégories), et de Cisinski-Moerdijk (pour les ∞-opérades) peuvent être reformulés et généralisés dans ce cadre. En particulier, ces trois modèles sont équivalents.
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Dates and versions

tel-02968939 , version 1 (16-10-2020)

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  • HAL Id : tel-02968939 , version 1

Cite

Cédric Ho Thanh. Opetopes: Syntactic and Algebraic Aspects. Category Theory [math.CT]. Université de Paris, 2020. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-02968939⟩
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