Weakly interacting diffusions on graphs - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2020

Weakly interacting diffusions on graphs

Systèmes de particules faiblement interagissantes sur graphes

Résumé

In the last twenty years, the modeling of complex systems has become a relevant domain of study, not only in applied sciences, but also among mathematicians. The recent improvements in the understanding of interacting particle systems, as well as the new insights coming from graph theory, allow to mathematically tackle new exciting problems in the challenging world of complex phenomena. This thesis addresses a rather general class of interacting particle systems defined on graph sequences. Notably, it focuses on weakly interacting particles described by differential equations, both deterministic and stochastic, where an extra structure encoding the connections among the particles is present. The mean-field hypothesis under which each particle is connected to all the others and in exactly the same way, is relaxed to a much more general assumption: the connections between the particles are supposed to be encoded by a general network, instead of the trivial complete graph of the mean-field case, meaning that a particle is interacting with another in a way that is proportional to the weight of the edge connecting the twos in the underlying graph. Several aspects for this class of models appear to be new in current research and demand new tools and techniques, but also new insights to unveil how the complexity behind the underlying network affects the particle dynamics. The present manuscript poses the focus on three main aspects: the relationship with the mean-field behavior, i.e., on which graph sequences the system behavior is suitably described by the classical mean-field limit; the extensions to inhomogeneous graph sequences and consequent inhomogeneous behaviors; finally, a first study on the long time dynamics for a particular model of interacting diffusions on graphs.
Les systèmes complexes sont devenus un sujet très étudié, non seulement dans les sciences appliquées, mais aussi en mathématiques. Récemment, de nouveaux résultats rigoureux ont été établis à propos de l'étude des systèmes de particules et des graphes aléatoires. Ils ont ainsi ouvert de nouvelles perspectives sur la modélisation des phénomènes complexes en mathématiques. Cette thèse porte sur une classe assez large de systèmes de particules qui interagissent entre elles, définis sur des séquences de graphes. En particulier, on se focalise sur des systèmes d'équations différentielles stochastiques et déterministes, dans lesquels une extra-structure code les connexions entre les différentes particules. La condition classique de champ moyen qui impose que toute unité soit connectée aux autres de la même façon, est relaxée au profit d'une hypothèse bien plus générale~: les connexions dans le système sont définies à l'aide d'un réseau complexe, au lieu d'un graphe complet. En d'autres termes, une particule interagit avec une autre d'une façon proportionnelle au poids de la connexion dans le graphe sous-jacent. Plusieurs aspects dans cette classe de modèles se présentent comme nouveaux dans la recherche actuelle et nécessitent des techniques et outils plus avancés. Des nouvelles idées sont requises pour dévoiler la complexité intrinsèque de ces systèmes. Ce travail se focalise sur trois aspects fondamentaux : la relation avec le comportement de champ moyen, l'extension aux séquences des graphes inhomogènes et, pour conclure, l'étude de la dynamique à temps longs d'un modèle de synchronisation défini sur des graphes.
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Dates et versions

tel-02970875 , version 1 (19-10-2020)

Identifiants

  • HAL Id : tel-02970875 , version 1

Citer

Fabio Coppini. Weakly interacting diffusions on graphs. Probability [math.PR]. Université de Paris, 2020. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-02970875⟩
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