Arithmétique des groupes algébriques au-dessus du corps des fonctions d'une courbe sur un corps p-adique - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2020

Arithmetic of algebraic groups over the function field of a curve defined over a p-adic field

Arithmétique des groupes algébriques au-dessus du corps des fonctions d'une courbe sur un corps p-adique

Résumé

This thesis deals with the arithmetic of linear groups over p-adic function fields. We divide the thesis into several parts.In the first part, we recall a cohomological obstruction to the Hasse principle for torsors under tori [HS16] and another obstruction to weak approximation for tori [HSS15] Subsequently we compare the two obstructions in two different manners. In particular, we show that the obstruction to the Hasse principle for torsors under tori can be described by an unramifed cohomology group.In the second part, we establish some arithmetic duality theorems and deduce a Poitou-Tate style exact sequence for a short complex of tori. Later on, we manage to find a defect to weak approximation for certain connected reductive groups using a piece of the Poitou-Tate sequence.In the last part, we consider a Borel-Serre style finiteness theorem in Galois cohomology. The first ingredient is that the finiteness of the kernel of the global-to-local map for linear groups will follow from that of absolutely simple simply connected groups. Subsequently, we show the kernel is a finite set for a list of absolutely simple simply connected groups.
Dans cette thèse, on considère l'arithmétique des groupes linéaires sur les corps de fonctions p-adiques. On divise la thèse en plusieurs parties.Dans la première partie, on rappelle une obstruction cohomologique au principe de Hasse pour les torseurs sous un tore [HS16] et une obstruction à l'approximation faible pour les tores [HSS15] Par la suite, on compare les obstructions ci-dessus de deux manières différentes. En particulier, on montre que l'obstruction au principe de Hasse pour les torseurs sous un tore peut être décrite par un groupe de cohomologie non ramifée.Dans la deuxième partie, on établit quelques théorèmes de dualité arithmétique et on déduit une suite exacte de type Poitou-Tate pour les complexes courts de tores. Plus tard, on parvient à trouver un défaut d'approximation faible pour certains groupes réductifs connexes en utilisant un morceau de la suite de Poitou-Tate.Dans la dernière partie, on considère un théorème de Borel-Serre de finitude en cohomologie galoisienne. Le premier ingrédient est que la finitude du noyau de l'application locale-globalepour les groupes linéaires découlera de celle des groupes géométriquement simples simplementconnexes. Par la suite, on montre que ce noyau est un ensemble fini pour une liste de groupes géométriquement simples simplement connexes.
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Origine : Version validée par le jury (STAR)
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Dates et versions

tel-02985977 , version 1 (02-11-2020)

Identifiants

  • HAL Id : tel-02985977 , version 1

Citer

Yisheng Tian. Arithmétique des groupes algébriques au-dessus du corps des fonctions d'une courbe sur un corps p-adique. Géométrie algébrique [math.AG]. Université Paris-Saclay, 2020. Français. ⟨NNT : 2020UPASM006⟩. ⟨tel-02985977⟩
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