On the Bertini theorem in Arakelov geometry
Autour du théorème de Bertini en géométrie d'Arakelov
Résumé
The purpose of this thesis is to study the geometric properties of the arithmetic varieties. More precisely, we are interested in the existence of regular projective subschemes of a regular projective arithmetic variety. First we extend a result of Poonen. In particular, we prove that given a smooth projective variety X over a finite field and an ample line bundle L on X, the proportion of global sections of L⊗d which has a smooth divisor tends to ζx(1+dim X)⁻¹ when d tends to infinity. Then we show that for a regular projective arithmetic variety X equipped with an ample hermitian line bundle L, the proportion of global sections of supremum norm strictly smaller than 1 of L⊗d whose divisor does not have a singular point on the fiber Xp over any prime p ≤ eᵋᵈ tends to ζx(1+dim X)⁻¹ as d tends to infinity.
Cette thèse a pour objet l'étude des propriétés géométriques des variétés arithmétiques. Plus précisément, nous nous intéressons à l'existence des sous-schémas projectifs réguliers sur une variété arithmétique projective régulière. Nous étendons d'abord un résultat de Poonen. Nous prouvons notamment qu'étant donnés une variété projective lisse X sur un corps fini et un faisceau ample L au-dessus de X, la proportion des sections globales de L⊗d ayant un diviseur lisse tend vers ζx(1+dim X)⁻¹ quand d tend vers l'infini. Nous montrons ensuite que pour une variété arithmétique projective régulière X muni d'un faisceau hermitien ample L, la proportion des sections globales de norme infinie strictement plus petite que 1 de L⊗d dont le diviseur n'a pas de point singulier sur la fibre Xp au-dessus d'aucun nombre premier p ≤ eᵋᵈ tend vers ζx(1+dim X)⁻¹ quand d tend vers l'infini.
Origine : Version validée par le jury (STAR)
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