Combinatorics of trees under increasing labellings: Asymptotics, bijections and algorithms
Combinatoire des arbres sous étiquetages croissants: Asymptotiques, bijections et algorithmes
Résumé
In this thesis we study classes of trees labelled according to different increasing labellings.
These trees are useful in the modelisation of various processes.
In our research different we adopt different but complementary points of view (combi
natorial, probabilistic or algorithmic) to enrich the results on classical increasing trees and
propose new tree classes that are less constrained than existing models in the literature.
We propose several new tree models, which each represent a process of evolution where
the histories of evolutions are registered. For these new classes of trees we show their close
links with classic combinatorial objects such as permutations, set partitions and graphs. We
also study them in more detail in probabilistic terms to have a better understanding of the
typical shape of large structures.
Then, we define a parametrizable evolution process that covers these new classes of trees
as well as other even more general classes. This leads us to define several new models of
increasing labellings on trees. We also derive universal forms for the asymptotic enumeration
of tree of classes of trees resulting from this evolution process using, in particular, ideas
borrowed from Borel’s summations.
On the algorithmic side, the study of tree structures requires the generation and storage of
large trees. This leads us to develop uniform random generation algorithms which allow us to
make unbiased simulations on large trees. Since we are able to generate large trees, another
problem arises concerning their representation in memory. In particular, we have found that
efficient compression would be useful for manipulating and studying experimentally these
tree structures. Our study then focuses on the average compression ratio of increasing trees
and it allows us to define a new compacted representation of binary search trees.
Dans cette thèse nous étudions des classes d’arbres étiquetés selon différents modèles
d’étiquetages croissants. Ces arbres sont utiles dans la modélisation de nombreux processus.
Nous adoptons dans nos recherches différents points de vues complémentaires (combi
natoire, probabiliste ou informatique) afin d’enrichir les résultats connus sur les arbres crois
sants classiques et de proposer de nouvelles classes d’arbres moins contraints que les modèles
existants dans la littérature.
Nous proposons plusieurs nouveaux modèles d’arbres, dans l’idée de pouvoir représenter
un processus d’évolution où l’historique des évolutions est enregistré. Pour ces nouvelles
classes d’arbres nous montrons leur liens étroits avec des objets classiques en combinatoire
comme les permutations, les partitions d’ensemble, ainsi que les graphes. Nous les étudions
également de façon plus détaillée en terme probabiliste pour mieux comprendre la forme
typique des grandes structures.
Ainsi, nous définissons un processus d’évolution paramétrable qui recouvre ces nouvelles
classes d’arbres ainsi que d’autres classes encore plus générales. Cela nous mène à définir
plusieurs nouveaux modèles d’étiquetages croissants sur les arbres. Nous réussissons aussi
à avoir des formes universelles pour l’énumération asymptotique des classes d’arbres issues
de ce processus d’évolution en utilisant notamment des idées empruntées aux sommations de
Borel.
Du côté algorithmique l’étude des structures arborescentes nécessite la génération et la
mémorisation d’arbres de grandes taille ce qui nous mène à élaborer des algorithmes de
génération aléatoire uniforme efficaces qui nous permettent de faire des simulations non bi
aisées sur des arbres de grandes taille. Du fait que nous sommes en mesure d’engendrer des
arbres grands, une autre problématique apparaît. Celleci concerne leur représentation en
mémoire. En particulier, nous nous sommes aperçus qu’une compression efficace serait in
téressante afin de manipuler et étudier expérimentalement ces structures arborescentes. Notre
étude porte alors sur le taux compression moyen des arbres croissants classiques et elle nous
permet de définir une nouvelle structure de données compactifiée pour les arbres binaires de
recherche.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)