The quantum Witten-Kontsevich series - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2020

The quantum Witten-Kontsevich series

La série de Witten-Kontsevich quantique

Résumé

The main theorem of this PhD thesis states the following: the genus 0 coefficients of the quantum Witten- Kontsevich series defined by Buryak, Dubrovin, Guéré, and Rossi are equal to the coefficients of the polynomials defined by Goulden, Jackson, and Vakil in their study of double Hurwitz numbers. We also prove several other results on the quantum Witten-Kontsevich series. The classical Witten-Kontsevich series is a generating series of intersection numbers on the moduli spaces of stable curves. The Witten conjecture, proved by Kontsevich, asserts that this series is the logarithm of a tau function of the KdV hierarchy. In 2016, Buryak and Rossi introduced a new way to construct quantum integrable hierarchies, including a quantum KdV hierarchy. Buryak, Dubrovin, Guéré and Rossi then defined quantum tau functions, one of which is the quantum Witten-Kontsevich series. This series depends on two parameters: the genus parameter _ and the quantization parameter ~. It reduces to the Witten-Kontsevich series when we plug ~ = 0. One-part double Hurwitz numbers count non-equivalent holomorphic maps from a Riemann surface of genus g to P1 with a prescribed ramification profile over 0, a complete ramification over 1, and a given number of simple ramifications elsewhere. Goulden, Jackson and Vakil proved that these numbers are polynomial in the orders of ramification over 0. We show that the coefficients of these polynomials are equal to the coefficients of the quantum Witten-Kontsevich series with _ = 0. In Chapter 1, we present the setting of the classical and quantum integrable hierarchies that we will use. We also present the construction of classical and quantum tau functions. In Chapter 2, we present the moduli spaces of curves Mg;n and their tautological rings. We briefly review the Witten conjecture. Then we introduce the double ramification cycle and discuss various methods for computing it. This cycle is needed to define the Hamiltonians of quantum integrable hierarchies. In Chapter 3, we present the quantum KdV hierarchy and some of its properties. We then define the quantum Witten-Kontsevich series as a particular quantum tau function of this hierarchy. In Chapter 4, we introduce Hurwitz numbers. We first present a remarkable link between the quantum KdV hierarchy and the cut-and-join equation. Then we introduce the so-called one-part double Hurwitz numbers. Their relation with the quantum Witten-Kontsevich series is the main result ot this thesis. In Chapter 5, we present Eulerian numbers. These numbers appear in the computations of the coefficients of the quantum Witten-Kontsevich series. Their properties are crucial for our proofs. In Chapter 6, we formulate and prove our main theorem and other results on the quantum Witten- Kontsevich series.
Le théorème principal de cette thèse établit le lien suivant : les coefficients de genre 0 de la série de Witten-Kontsevich quantique définie par Buryak, Dubrovin, Guéré et Rossi sont égaux aux coefficients des polynômes définis par Goulden, Jackson et Vakil dans leur étude des nombres de Hurwitz doubles. Nous prouvons aussi d’autres résultats concernant la série de Witten-Kontsevich quantique. La série de Witten-Kontsevich classique est une série génératrice de nombres d’intersections sur les espaces de module des courbes. La conjecture de Witten, prouvée par Kontsevich, affirme que cette série est le logarithme d’une fonction tau de la hiérarchie de KdV. En 2016, Buryak et Rossi ont introduit une nouvelle façon de construire des hiérarchies intégrables quantiques, ils ont en particulier construit une hiérarchie de KdV quantique. Buryak, Dubrovin, Guéré et Rossi ont ensuite défini des fonctions tau quantiques, l’une d’entre elles est la série de Witten-Kontsevich quantique. Cette série dépend de deux paramètres : le paramètre de genre _ et le paramètre quantique ~. Elle se restreint à la série de Witten-Kontsevich lorsque l’on substitue ~ = 0. Les nombres de Hurwitz double polynomiaux comptent le nombre d’applications holomorphes non équivalentes d’une surface de Riemann de genre g à P1 avec un profil de ramification fixé au dessus de 0, une ramification complète au dessus de 1, et un nombre donné de ramifications simples au dessus de P1n f0;1g. Goulden, Jackson et Vakil ont prouvé que ces nombres sont polynomiaux en les ordres de ramification au dessus de 0. Nous montrons que les coefficients de ces polynômes sont égaux aux coefficients de la série de Witten-Kontsevich quantique avec _ = 0. Dans le Chapitre 1, nous présentons le cadre des hiérarchies intégrables classiques et quantiques que nous utiliserons. Nous présentons aussi la construction des fonctions tau classiques et quantiques. Dans le Chapitre 2, nous présentons les espaces de module des courbes Mg;n et leurs anneaux tautologiques. Nous présentons brièvement la conjecture de Witten. Ensuite, nous introduisons le cycle de double ramification et discutons de quelques méthodes pour le calculer. Ce cycle est nécessaire pour définir les hamiltoniens des hiérarchies intégrables quantiques. Dans le Chapitre 3, nous présentons la hiérarchie de KdV quantique et quelques-unes de ses propriétés. Nous définissons ensuite la série de Witten-Kontsevich quantique comme une certaine fonction tau quantique de cette hiérarchie. Dans le Chapitre 4, nous introduisons les nombres de Hurwitz. Nous présentons d’abord un lien remarquable entre la hiérarchie de KdV quantique et l’équation de cut-and-join. Ensuite, nous introduisons les nombres de Hurwitz doubles polynomiaux. Leur relation avec la série de Witten-Kontsevich quantique est le résultat principal de cette thèse. Dans le Chapitre 5, nous présentons les nombres Eulériens. Ces nombres apparaissent dans le calcul des coefficients de la série de Witten-Kontsevich quantique. Leurs propriétés sont cruciales pour nos preuves. Dans le Chapitre 6, nous formulons et prouvons notre théorème principal ainsi que d’autres résultats sur la série de Witten-Kontsevich quantique.
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-03173534 , version 1 (18-03-2021)

Identifiants

  • HAL Id : tel-03173534 , version 1

Citer

Xavier Blot. The quantum Witten-Kontsevich series. Algebraic Geometry [math.AG]. Sorbonne Université, 2020. English. ⟨NNT : 2020SORUS017⟩. ⟨tel-03173534⟩
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